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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Congruences - Bac S Métropole 2009

Exercice 4

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

    1. Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : 8x5y=38x - 5y=3.

    2. Soit mm un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple (p,q)\left(p, q\right) de nombres entiers vérifiant m=8p+1m=8 p+1 et m=5q+4m=5q+4.

      Montrer que le couple (p,q)\left(p, q\right) est solution de l'équation (E) et en déduire que m9(mod.40)m\equiv 9 \left(\text{mod.} 40\right).

    3. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers mm supérieurs à 2 000.

  1. Soit nn un nombre entier naturel.

    1. Démontrer que pour tout nombre entier naturel kk on a : 23k1(mod.7)2^{3k}\equiv 1 \left(\text{mod.}7\right).

    2. Quel est le reste dans la division euclidienne de 220092^{2009} par 7 ?

  2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soient aa et bb deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a0a \neq 0.

    On considère le nombre N=a×103+bN=a \times 10^{3}+b. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme N=a00bN= \overline{a00b}.

    On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels NN ceux qui sont divisibles par 7.

    1. Vérifier que 1031(mod.7)10^{3}\equiv - 1 \left(\text{mod.} 7\right).

    2. En déduire tous les nombres entiers NN cherchés.

Corrigé

    1. L'algorithme d'Euclide permet de trouver une solution de l'équation.

      Ici (1;1)\left(1; 1\right) est une solution évidente.

      Soit (x;y)\left(x;y\right) une solution de (E) :

      8x5y=38x5y=8×15×18(x1)=5(y1)8x - 5y=3\Leftrightarrow 8x - 5y=8\times 1 - 5\times 1\Leftrightarrow 8\left(x - 1\right)=5\left(y - 1\right)

      8 divise 5(y1)5\left(y - 1\right) et est premier avec 5, donc d'après le théorème de Gauss, 8 divise y1y - 1.

      Posons y1=8ky - 1=8k avec kZk\in \mathbb{Z} alors x1=5kx - 1=5k donc :

      y=1+8ky=1+8k et x=1+5kx=1+5k

      Réciproquement on vérifie que tout couple de la forme (1+5k,1+8k)\left( 1+5k, 1+8k \right) est solution de (E) :

      8(1+5k)5(1+8k)=38\left(1+5k\right) - 5\left(1+8k\right)=3

      L'ensemble des solutions entières de (E) est donc:

      S={(1+5k,1+8k) ; kZ}S=\left\{\left( 1+5k, 1+8k \right)\ ;\ k\in \mathbb{Z}\right\}

    2. Par hypothèse 8p+1=5q+48p+1=5q+4 donc 8p5q=18p - 5q=1. (p;q)\left(p; q\right) est donc solution de (E)

      D'après le a. on en déduit que :

      m=8p+1=8(1+5k)+1=40k+9m=8p+1=8\left(1+5k\right)+1=40k+9

      donc m9 (mod.40)m\equiv 9\ \left(\text{mod.}40\right)

    3. Posons N=2000+kN=2000+k avec kNk\in \mathbb{N}

      N9 (mod.40)2000+k9 (mod.40)k9 (mod.40)N\equiv 9\ \left(\text{mod.}40\right) \Leftrightarrow 2000+k\equiv 9\ \left(\text{mod.}40\right) \Leftrightarrow k\equiv 9 \ \left(\text{mod.}40\right)

      car 2000 est divisible par 40. Le plus petit entier positif kk possible est donc 9 et la plus petite valeur de NN est 2009

    1. 23=82^{3}=8 donc

      231 (mod.7)2^{3}\equiv 1\ \left(\text{mod.}7\right)

      donc pour tout entier naturel kk en élevant à la puissance kk :

      23k1 (mod.7)2^{3k}\equiv 1\ \left(\text{mod.}7\right)

    2. La division euclidienne de 2009 par 3 donne :

      2009=3×669+22009=3\times 669+2

      Donc

      22009=23×669+2=(23)669×222^{2009}=2^{3\times 669+2}=\left(2^{3}\right)^{669}\times 2^{2}

      D'après la question pécédente:

      220091×224 (mod.7)2^{2009}\equiv 1\times 2^{2}\equiv 4\ \left(\text{mod.}7\right)

      Le reste de la division euclidienne de 220092^{2009} par 7 est donc 4.

    1. 103=1000=142×7+6=142×7+71=143×7110^{3}=1000=142\times 7+6=142\times 7+7 - 1=143\times 7 - 1

      Donc 1031 (mod.7)10^{3}\equiv - 1\ \left(\text{mod.}7\right)

    2. On déduit de la question précédente que

      a×103+bba (mod.7)a\times 10^{3}+b\equiv b - a\ \left(\text{mod.}7\right)

      Donc a×103+ba\times 10^{3}+b est divisible par 7 si et seulement si ba0 (mod.7)b - a\equiv 0\ \left(\text{mod.}7\right)

      Comme 1a91\leqslant a\leqslant 9 et 0b90\leqslant b\leqslant 9 : 9ba8 - 9\leqslant b - a\leqslant 8.

      Les seules solutions possibles sont donc : ba=7b - a= - 7; ba=0b - a=0; ba=7b - a=7, ce qui donne les nombres:

      7000; 8001; 9002; 1001; 2002; 3003; 4004; 5005; 6006; 7007; 8008; 9009; 1008; 2009

      Réciproquement, on vérifie que chacun de ces quatorze nombres est divisible par 7.