Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d'une ville.

La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L'efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n'est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l'issue de la période hivernale a permis de constater que :

• 40 % de la population est vaccinée ;

• 8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;

• 20 % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• $V$ : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;

• $G$ : « la personne a contracté la grippe ».

1. 1. Donner la probabilité de l'événement $G$.

   2. Reproduire l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.

      

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

3. La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu'elle ait contracté la grippe est égale à $0,28$.

Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10^{ - 3}$ près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.

Après la période hivernale, on interroge au hasard $n$ habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à $n$ tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à $0,4$.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les $n$ interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?

2. Dans cette question, on suppose que $n = 40$.

   1. Déterminer la probabilité qu'exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées.

   2. Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.

3. On interroge un échantillon de 3 750 habitants de la ville, c'est-à-dire que l'on suppose ici que $n = 3~750$.

   On note $Z$ la variable aléatoire définie par : $Z = \dfrac{X - 1~500}{30}$.

   On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par la loi normale centrée réduite.

   En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu'il y ait entre 1 450 et 1 550 individus vaccinés dans l'échantillon interrogé.