Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d'équation :

Cette courbe est appelée une « chaînette ».

On s'intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points $M$ et $M^{\prime}$ comme indiqué sur le graphique.

Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d'abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation

   $(E)~: \text{e}^x + \text{e}^{ - x} - 4x - 2 = 0.$

2. On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

   $f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{ - x} - 4x - 2.$

   1. Vérifier que pour tout $x > 0,\: f(x) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 4\right) + \text{e}^{ - x} - 2$.

   2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

3. 1. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

   2. Montrer que l'équation $f^{\prime}(x) = 0$ équivaut à l'équation : $\left(\text{e}^x\right)^2 - 4\text{e}^x - 1 = 0$.

   3. En posant $X = \text{e}^x$, montrer que l'équation $f^{\prime}(x) = 0$ admet pour unique solution réelle le nombre $\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)$.

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$ :

   

   1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

   2. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive que l'on notera $\alpha$.

5. On considère l'algorithme suivant où les variables $a$, $b$ et $m$ sont des nombres réels :

   

   1. Avant l'exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent respectivement les valeurs $2$ et $3$.

      Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

      On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.

   2. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente ?

   

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-dessous.

   

   Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

   La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation :

   $\left(E^{\prime}\right)~: \text{e}^{\tfrac{t}{39}} + \text{e}^{ - \tfrac{t}{39}} - 4\frac{t}{39} - 2 = 0.$

   Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.