Géométrie dans l'espace - Bac S Métropole 2018
Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.
On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).
Partie A - Étude de cas particuliers
On considère un cube ABCDEFGH.
On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.
On considère le tétraèdre ABCE.
Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?
On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère .
Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : .
En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF{}.
Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.
Partie B - Une propriété des tétraèdres orthocentriques
Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.
Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
Ainsi, on obtient la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées » lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)
Partie C - Application
Dans un repère orthonormé, on considère les points :
, , et
Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.