Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.

On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).

Partie A - Étude de cas particuliers

On considère un cube ABCDEFGH.

On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.

1. On considère le tétraèdre ABCE.

   1. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.

   2. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?

2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

   1. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : $x - y + z = 0$.

   2. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF{}.

   3. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.

      Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?

Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B - Une propriété des tétraèdres orthocentriques

Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.

1. 1. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.

   2. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.

2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.

   Ainsi, on obtient la propriété suivante :

   Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.

   (On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées » lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)

Partie C - Application

Dans un repère orthonormé, on considère les points :

$\text{R}( - 3~;~5~;~2)$ , $\text{S}(1~;~4~;~ - 2)$ , $\text{T}(4~;~ - 1~;~5)$ et $\text{U}(4~;~7~;~3).$

Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.