Exercice 4 (5 points)

Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »

Partie A

On considère l'équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels :

1. Déterminer un couple solution $(x~;~y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels.

2. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. On définit les suites d'entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ par :

   $x_0 = 1,\: y_0 = 0,$ et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}.$

   1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de l'équation $(E)$.

   2. En admettant que la suite $\left(x_n\right)$ est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1} > x_n$.

3. En déduire que l'équation $(E)$ admet une infinité de couples solutions.

Partie B

Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$,  $p^2$ divise $n$.

1. Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.

   L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples.

2. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.

   Montrer que l'entier naturel $n = a^2 b^3$ est un nombre puissant.

3. Montrer que si $(x~;~y)$ est un couple solution de l'équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2 - 1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants.

4. Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.

   Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$.