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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités – Bac S Métropole 2015

Exercice 1 - 6 points

Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une boite contient 200200 médailles souvenir dont 5050 sont argentées, les autres dorées.

Parmi les argentées 6060% représentent le château de Blois, 3030% le château de Langeais, les autres le château de Saumur.

Parmi les dorées 4040% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.

On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

  1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.

    1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.

    2. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à 2140\frac{21}{40}.

    3. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?

  2. Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.

Partie B

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre 9,99,9 et 10,110,1 grammes.

On dispose de deux machines M1M_1 et M2M_2 pour produire les médailles.

  1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M1M_1 produit des médailles dont la masse XX en grammes suit la loi normale d'espérance 1010 et d'écart-type 0,060,06.

    On note CC l'événement « la médaille est conforme ».

    Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M1M_1 ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à 10310^{ - 3} près.

  2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M1M_1 étant jugée trop importante, on utilise une machine M2M_2 qui produit des médailles dont la masse YY en grammes suit la loi normale d'espérance μ=10\mu = 10 et d'écart-type σ\sigma.

    1. Soit ZZ la variable aléatoire égale à Y10σ\frac{Y - 10}{\sigma}.

      Quelle est la loi suivie par la variable ZZ ?

    2. Sachant que cette machine produit 66% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de σ\sigma.

Corrigé

Partie A

  1. Le tirage peut être modélisé par l'arbre pondéré ci-dessous :

    Arbre probabilités

    1. L'événement dont dont recherche la probabilité est ALA \cap L :

      p(AL)=p(A)×pA(L)=14×310=340p(A \cap L)=p(A) \times p_A(L)=\frac{1}{4} \times \frac{3}{10}=\frac{3}{40}

    2. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de LL est égale à :

      p(L)=p(AL)+p(DL)p(L)=p(A \cap L)+p(D \cap L)

      p(L)=p(AL)+p(D)×pD(L)\phantom{p(L)}=p(A \cap L)+p(D) \times p_D(L)

      p(L)=340+34×35=2140\phantom{p(L)}=\frac{3}{40}+\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}=\frac{21}{40}

    3. La probabilité cherchée est pL(D)p_L(D). D'après la formule des probabilités conditionnelles :

      pL(D)=p(DL)p(L)p_L(D)=\frac{p(D \cap L)}{p(L)}

      pL(D)=9202140=920×4021=67p_L(D)=\frac{\frac{9}{20}}{\frac{21}{40}}=\frac{9}{20} \times \frac{40}{21}=\frac{6}{7}

  2. On cherche cette fois pS(A)p_S(A). D'après la formule des probabilités conditionnelles :

    pS(A)=p(AS)p(S)p_S(A)=\frac{p(A \cap S)}{p(S)}

    D'après la formule des probabilités totales :

    p(S)=p(AS)+p(DS)p(S)=p(A \cap S) + p(D \cap S)

    Or DSD \cap S est l'événement impossible (il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur) donc p(DS)=0p(D \cap S)=0.

    Finalement :

    pS(A)=p(AS)p(AS)=1p_S(A)=\frac{p(A \cap S)}{p(A \cap S)}=1

    Ce résultat était prévisible : comme il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur, une médaille représentant le château de Saumur est nécessairement une médaille argentée. (D'ailleurs cet argument suffisait pour répondre à la question...)

Partie B

  1. Une médaille est conforme si et seulement si sa masse est comprise entre 9,99,9 et 10,110,1 grammes. A la calculatrice ("NormalCdf(9.9 , 10.1 , 10 , 0.06)") on trouve :

    p(C)=p(9,9X10,1)0,904p(C)=p(9,9 \leqslant X \leqslant 10,1) \approx 0,904 à 10310^{ - 3} près

    1. YY suit la loi normale d'espérance μ=10\mu = 10 et d'écart-type σ\sigma, donc la variable aléatoire Z=Y10σZ=\frac{Y - 10}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite (voir cours) .

    2. La machine M2M_2 produit 66% de pièces non conformes donc elle produit 9494% de pièces conformes.

      Cela se traduit par :

      p(9,9Y1,1)=0,94p(9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1)=0,94

      Or :

      9,9Y1,10,1Y100,19,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 \Leftrightarrow - 0,1 \leqslant Y - 10 \leqslant 0,1

      9,9Y1,10,1σY10σ0,1σ\phantom{9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 }\Leftrightarrow - \frac{0,1}{\sigma} \leqslant \frac{Y - 10}{\sigma} \leqslant \frac{0,1}{\sigma}

      9,9Y1,10,1σZ0,1σ\phantom{9,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 }\Leftrightarrow - \frac{0,1}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}

      Par conséquent :

      p(0,1σZ0,1σ)=0,94p\left( - \frac{0,1}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right) =0,94

      Donc par symétrie :

      p(0Z0,1σ)=0,942=0,47p\left(0 \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right) =\frac{0,94}{2}=0,47

      loi normale

      Et par conséquent :

      p(Z0,1σ)=p(Z0)+p(0Z0,1σ)p\left(Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right) =p\left(Z \leqslant 0 \right) +p\left(0 \leqslant Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right)

      p(Z0,1σ)=0,5+0,47=0,97\phantom{p\left(Z \leqslant \frac{0,1}{\sigma}\right)} =0,5 + 0,47=0,97

      loi normale

      A la calculatrice ("InvNormale(0,97)"), on trouve que :

      p(Z1,881)=0,97p\left(Z \leqslant 1,881\right)=0,97

      loi normale

      donc

      0,1σ=1,881\frac{0,1}{\sigma}=1,881

      σ=0,11,8810,053\sigma=\frac{0,1}{1,881} \approx 0,053 au millième près.