Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec{u},\vec{v}\right)$.

On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le point $M^{\prime}$ d'affixe $\frac{1}{z+1}$.

Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathscr D$ d'équation $x= - \frac{1}{2}$.

1. Soient $A, B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}= - \frac{1}{2}$ , $z_{\text{B}}= - \frac{1}{2}+\text{i}$ et $z_{\text{C}}= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \text{i}.$

   1. Placer les trois points $A, B$ et $C$ sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

   2. Calculer les affixes des points $A^{\prime} = f\left(A\right), B^{\prime} = f\left(B\right)$ et $C^{\prime} = f\left(C\right)$ et placer les points $A^{\prime}, B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ sur la figure.

   3. Démontrer que les points $A^{\prime}$, $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ ne sont pas alignés.

2. Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$.

   1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.

   2. Sans donner d'explication, placer les points $A_{1}$, $B_{1}$ et $C_{1}$, images respectives par $g$ de $A, B$ et $C$ et tracer la droite $\mathscr D_{1}$, image de la droite $\mathscr D$ par $g$.

   3. Démontrer que $\mathscr D_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$.

3. Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\frac{1}{z}$.

   1. Justifier que $h\left(A_{1}\right) = \text{A}^{\prime}, h\left(B_{1}\right) = \text{B}^{\prime}$ et $h \left(C_{1}\right) = \text{C}^{\prime}$.

   2. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a :

      $\left| \frac{1}{z} - 1\right|= 1 \Leftrightarrow |z - 1| = |z|.$

   3. En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathscr D_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathscr C$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
      On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathscr D_{1}$ est le cercle $\mathscr C$ privé de $O$.

4. Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathscr D$.