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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2009

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;u⃗,v⃗)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right).

Soit A le point d'affixe a=1+i3a=1+i\sqrt{3} et B le point d'affixe b=1−3+(1+3)ib=1 - \sqrt{3}+\left(1+\sqrt{3}\right)i.

Partie A : étude d'un cas particulier

On considère la rotation rr de centre O et d'angle 2π3\frac{2\pi }{3}.

On note C le point d'affixe cc image du point A par la rotation rr et D le point d'affixe dd image du point B par la rotation rr.

La figure est donnée ci-dessous :

Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2009 - 1

    1. Exprimer −ab−a\frac{ - a}{b - a} sous forme algébrique.

    2. En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

  2. Démontrer que c=−2c= - 2. On admet que d=−2−2id= - 2 - 2i.

    1. Montrer que la droite (AC) a pour équation y=33(x+2)y=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+ 2\right).

    2. Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B : étude du cas général

Soit θ\theta un réel appartenant à l'intervalle ]0;2π[\left]0; 2\pi \right[. On considère la rotation rr de centre O et d'angle θ\theta .

On note A' le point d'affixe a′a^{\prime}, image du point A par la rotation rr, et B' le point d'affixe b′b^{\prime}, image du point B par la rotation rr.

La figure est donnée ci-dessous :

Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2009 - 2

L'objectif est de démontrer que la droite (AA') coupe le segment [BB'] en son milieu.

  1. Exprimer a′a^{\prime} en fonction de aa et θ\theta et b′b^{\prime} en fonction de bb et θ\theta .

  2. Soit P le point d'affixe p milieu de [AA'] et Q le point d'affixe q milieu de [BB'].

    1. Exprimer pp en fonction de aa et θ\theta puis qq en fonction de bb et θ\theta .

    2. Démontrer que −pq−p=−ab−a\frac{ - p}{q - p}=\frac{ - a}{b - a}.

    3. En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).

    4. Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA').

Corrigé

Partie A : étude d'un cas particulier

    1. Après calcul on trouve :

      −ab−a=i\frac{ - a}{b - a}=i

    2. On déduit de la question 1.a. :

      0−a=i(b−a)=eiπ2(b−a)0 - a=i\left(b - a\right)=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(b - a\right)

      ce qui prouve que O est l'image de B dans la rotation de centre A d'angle π2\frac{\pi }{2}

  2. "Simple" calcul

    1. On peut (par exemple) appliquer la formule

      y=yC−yAxC−xA(x−xA)+yAy=\frac{y_{C} - y_{A}}{x_{C} - x_{A}}\left(x - x_{A}\right)+y_{A}

    2. L'affixe du milieu I de [BD] est :

      zI=−1−32+−1+32iz_{I}=\frac{ - 1 - \sqrt{3}}{2}+\frac{ - 1+\sqrt{3}}{2}i

      Il suffit ensuite de vérifier que le couple (xI=−1−32;yI=−1+32)\left(x_{I}=\frac{ - 1 - \sqrt{3}}{2}; y_{I}=\frac{ - 1+\sqrt{3}}{2}\right) est solution de l'équation trouvée au a.

Partie B : étude du cas général

  1. a′=eiθaa^{\prime}=e^{i\theta }a

    b′=eiθbb^{\prime}=e^{i\theta }b

    1. p=a+a′2=a(1+eiθ2)p=\frac{a+a^{\prime}}{2}=a\left(\frac{1 +e^{i\theta }}{2}\right)

      q=b+b′2=b(1+eiθ2)q=\frac{b+b^{\prime}}{2}=b\left(\frac{1 +e^{i\theta }}{2}\right)

    2. Le résultat demandé s'obtient par calcul après simplification par 1+eiθ2\frac{1 +e^{i\theta }}{2}

    3. D'après les questions précédentes:

      0−p=i(q−p)=eiπ2(q−p)0 - p=i\left(q - p\right)=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(q - p\right)

      ce qui prouve que O est l'image de Q dans la rotation de centre P d'angle π2\frac{\pi }{2}

    4. On montre facilement que (OP) est la médiatrice de [AA']

      D'après 2.c. Q est sur la perpendiculaire à (OP) passant par P donc Q∈(AA′)Q\in \left(AA^{\prime}\right) .

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