Equations différentielles Probabilités - Bac S Amérique du Nord 2009
Exercice 1
5 points - Commun à tous candidats
Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.
Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours
Au début de l'épidémie on constate que 0,01% de la population est contaminé.
Pour appartenant à [0; 30], on note le pourcentage de personnes touchées par la maladie après jours.
On a donc .
On admet que la fonction ainsi définie sur [0; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
On considère la fonction définie sur l'intervalle [0; 30] par .
Démontrer que la fonction satisfait aux conditions
si et seulement si la fonction satisfait aux conditions
En déduire une expression de la fonction puis celle de la fonction .
Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.
Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10% des individus sont malades.
On choisit au hasard un individu dans cette population.
Montrer que la probabilité de l'évènement « l'individu n'est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08.
Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ?
Corrigé
Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours
Dans cette question, il faut soit raisonner par équivalence, soit penser à démontrer la réciproque.
donc , et
Il suffit alors de remplacer et ...
vérifie une équation différentielle du type
On trouve :
Environ 10% de la population sera touchée au bout de 30 jours.
Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin
On cherche
On applique la loi des probabilités totales:
On obtient :
On cherche