Partie A : Restitution organisée de connaissances

Si, pour tout $x$ de $\left[a; b\right]$, $f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right)$ alors $g - f$ est positive ou nulle sur $\left[a; b\right]$.

Il suffit alors d'appliquer successivement les deux prérequis de l'énoncé.

Partie B

1. 1. Si $0\leqslant x\leqslant 1$ alors :

      $0\leqslant x^{2}\leqslant 1$ (justifiez...)

      $- 1\leqslant - x^{2}\leqslant 0$ (justifiez...)

      $\frac{1}{e} \leqslant e^{ - x^{2}} \leqslant 1$. (justifiez...)

   2. $u_{0}=\int_{0}^{1}e^{ - x^{2}}dx$.

      On applique le théorème montré au A à l'encadrement de la question précédente :

      $\int_{0}^{1}\frac{1}{e}dx \leqslant \int_{0}^{1}e^{ - x^{2}}dx \leqslant \int_{0}^{11}dx$

      d'où

      $\frac{1}{e} \leqslant u_{0} \leqslant 1$.

2. $u_{1}=\int_{0}^{1}xe^{ - x^{2}}dx$

   $xe^{ - x^{2}}= - \frac{1}{2}\times \left( - 2xe^{ - x^{2}}\right)$

   et $x\mapsto - 2xe^{ - x^{2}}$ est la dérivée de $x\mapsto e^{ - x^{2}}$ donc

   $u_{1}=\int_{0}^{1}xe^{ - x^{2}}dx=\left[ - \frac{1}{2}e^{ - x^{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{e}\right)$

3. 1. On utilise la positivité de l'intégrale et le fait que $x^{n}e^{ - x^{2}}\geqslant 0$ sur $\left[0; 1\right]$

   2. $u_{n+1} - u_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\left(x - 1\right)e^{ - x^{2}}dx$

      sur $\left[0; 1\right]$, $x - 1$ est négatif donc $x^{n}\left(x - 1\right)e^{ - x^{2}}$ l'est aussi.

      On en déduit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

   3. La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par 0 donc convergente.

4. 1. D'après 1.a. $e^{ - x^{2}}\leqslant 1$ sur $\left[0; 1\right]$ donc:

      $\int_{0}^{1}x^{n}e^{ - x^{2}}dx \leqslant \int_{0}^{1}x^{n}dx=\frac{1}{n+1}$

   2. $0\leqslant u_{n}\leqslant \frac{1}{n+1}$

      Donc, d'après le théorème des gendarmes :

      $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0$