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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intégrales et suites - Bac S Amérique du Nord 2009

Exercice 2

5 points - Commun à tous candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient uu et vv deux fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a; b\right] avec a<ba < b.

Démontrer que si ff et gg sont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a; b\right] avec a<ba < b et si, pour tout xx de [a;b]\left[a; b\right], f(x)g(x)f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right)dx.

Partie B

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right] par f(x)=ex2f\left(x\right)=e^{ - x^{2}} et on définit la suite (un)\left(u_{n}\right) par :

    1. Démontrer que, pour tout réel xx de l'intervalle [0;1],1ef(x)1\left[0;1\right], \frac{1}{e} \leqslant f\left(x\right) \leqslant 1.

    2. En déduire que 1eu01\frac{1}{e} \leqslant u_{0} \leqslant 1.

  1. Calculer u1u_{1}.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel nn, 0un0 \leqslant u_{n}.

    2. Étudier les variations de la suite (un)\left(u_{n}\right).

    3. En déduire que la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un1n+1u_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}.

    2. En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Corrigé

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Si, pour tout xx de [a;b]\left[a; b\right], f(x)g(x)f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) alors gfg - f est positive ou nulle sur [a;b]\left[a; b\right].

Il suffit alors d'appliquer successivement les deux prérequis de l'énoncé.

Partie B

    1. Si 0x10\leqslant x\leqslant 1 alors :

      0x210\leqslant x^{2}\leqslant 1 (justifiez...)

      1x20 - 1\leqslant - x^{2}\leqslant 0 (justifiez...)

      1eex21\frac{1}{e} \leqslant e^{ - x^{2}} \leqslant 1. (justifiez...)

    2. u0=01ex2dxu_{0}=\int_{0}^{1}e^{ - x^{2}}dx.

      On applique le théorème montré au A à l'encadrement de la question précédente :

      011edx01ex2dx011dx\int_{0}^{1}\frac{1}{e}dx \leqslant \int_{0}^{1}e^{ - x^{2}}dx \leqslant \int_{0}^{11}dx

      d'où

      1eu01\frac{1}{e} \leqslant u_{0} \leqslant 1.

  1. u1=01xex2dxu_{1}=\int_{0}^{1}xe^{ - x^{2}}dx

    xex2=12×(2xex2)xe^{ - x^{2}}= - \frac{1}{2}\times \left( - 2xe^{ - x^{2}}\right)

    et x2xex2x\mapsto - 2xe^{ - x^{2}} est la dérivée de xex2x\mapsto e^{ - x^{2}} donc

    u1=01xex2dx=[12ex2]01=12(11e)u_{1}=\int_{0}^{1}xe^{ - x^{2}}dx=\left[ - \frac{1}{2}e^{ - x^{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{e}\right)

    1. On utilise la positivité de l'intégrale et le fait que xnex20x^{n}e^{ - x^{2}}\geqslant 0 sur [0;1]\left[0; 1\right]

    2. un+1un=01xn(x1)ex2dxu_{n+1} - u_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\left(x - 1\right)e^{ - x^{2}}dx

      sur [0;1]\left[0; 1\right], x1x - 1 est négatif donc xn(x1)ex2x^{n}\left(x - 1\right)e^{ - x^{2}} l'est aussi.

      On en déduit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.

    3. La suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante et minorée par 0 donc convergente.

    1. D'après 1.a. ex21e^{ - x^{2}}\leqslant 1 sur [0;1]\left[0; 1\right] donc:

      01xnex2dx01xndx=1n+1\int_{0}^{1}x^{n}e^{ - x^{2}}dx \leqslant \int_{0}^{1}x^{n}dx=\frac{1}{n+1}

    2. 0un1n+10\leqslant u_{n}\leqslant \frac{1}{n+1}

      Donc, d'après le théorème des gendarmes :

      limnun=0\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0