I est le milieu de [DE], J est le milieu de [DB] et K est le milieu de [IJ].

On obtient:

$I \left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

$J \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$

$K \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$

$\overrightarrow{AG} \left(1;1;1\right)$

$\overrightarrow{AK} \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés.

1. On sait que KI=KJ car K est le milieu de $\left[IJ\right]$. On calcule, à l'aide du théorème de Pythagore ou des coordonnées :

   AI=AJ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

   GI=GJ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$

   Les points A, K et G sont équidistants de I et J et ne sont pas alignés, donc (AKG) est bien le plan médiateur de [IJ].

2. Soit $M\left(x; y; z\right)$

   $M\in \left(AKG\right) \Leftrightarrow MI=MJ \Leftrightarrow MI^{2}=MJ^{2}$

   $M\in \left(AKG\right) \Leftrightarrow x^{2}+\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2}+\left(z - \frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2}+z^{2}$

   En développant puis en réduisant on obtient l'équation de (AKG)

   $x - z=0$

3. Il suffit de vérifier que les coordonnées de D vérifient l'équation trouvée.

1. L est le milieu de [DG]. On en déduit $L\left(\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}\right)$

   Le milieu de [AL] a comme coordonnées $\left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$; c'est donc K.

2. K est le milieu de [AL], donc le barycentre de $\left\{\left(A, 2\right); \left(L, 2\right)\right\}$

   L est le milieu de [DG], donc le barycentre de $\left\{\left(D, 1\right); \left(G, 1\right)\right\}$

   Par associativité du barycentre, K est le barycentre de $\left\{\left(A, 2\right); \left(D, 1\right); \left(G, 1\right)\right\}$