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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et géométrie - Bac S Métropole 2008

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O;u⃗,v⃗)\left(O ; \vec{u} , \vec{v}\right) (unité graphique : 1 cm).

Soient AA, BB et II les points d'affixes respectives 1+i1+i, 3−i3 - i et 22.

A tout point MM d'affixe zz, on associe le point M′M^{\prime} d'affixe z′z^{\prime} telle que z′=z2−4zz^{\prime}=z^{2} - 4z. Le point M′M^{\prime} est appelé l'image de MM.

  1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.

  2. Calculer les affixes des points A′A^{\prime} et B′B^{\prime}, images respectives des points AA et BB. Que remarque-t-on ?

  3. Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe −5 - 5.

    1. Vérifier que pour tout nombre complexe zz, on a : z′+4=(z−2)2z^{\prime}+4=\left(z - 2\right)^{2}.

    2. En déduire une relation entre ∣z′+4∣|z^{\prime}+4| et ∣z−2∣|z - 2| et, lorsque zz est différent de 22, une relation entre arg(z′+4)\text{arg}\left(z^{\prime}+4\right) et arg(z−2)\text{arg}\left(z - 2\right).

    3. Que peut-on dire du point M′M^{\prime} lorsque MM décrit le cercle CC de centre II et de rayon 22 ?

  5. Soient EE le point d'affixe 2+2eiπ32+2e^{ i \frac{\pi }{3}}, JJ le point d'affixe −4 - 4 et E′E^{\prime} l'image de EE.

    1. Calculer la distance IEIE et une mesure en radians de l'angle (u⃗;IE→)\left(\vec{u}; \overrightarrow{IE}\right).

    2. Calculer la distance JE′JE^{\prime} et une mesure en radians de l'angle (u⃗;JE′→)\left(\vec{u};\overrightarrow{JE^{\prime}}\right).

    3. Construire à la règle et au compas le point E′E^{\prime} ; on laissera apparents les traits de construction.

Corrigé

  1. (voir en fin de corrigé)

  2. L'affixe de A′A^{\prime} est :

    zA′=zA2−4zA=(1+i)2−4(1+i)=1+2i+i2−4−4i=−4−2iz_{A^{\prime}}=z_{A}^{2} - 4z_{A}=\left(1+i\right)^{2} - 4\left(1+i\right)=1+2i +i^{2} - 4 - 4i= - 4 - 2i

    L'affixe de B′B^{\prime} est :

    zB′=zB2−4zB=(3−i)2−4(3−i)=9−6i+i2−12+4i=−4−2z_{B^{\prime}}=z_{B}^{2} - 4z_{B}=\left(3 - i\right)^{2} - 4\left(3 - i\right)=9 - 6i+i^{2} - 12+4i= - 4 - 2

    Les points A′A^{\prime} et B′B^{\prime} ont sont confondus

  3. MM d'affixe zz a pour image M′M^{\prime} d'affixe −5 - 5 si et seulement si :

    z2−4z=−5z^{2} - 4z= - 5 soit : z2−4z+5=0z^{2} - 4z+5=0 (E1) Le discriminant vaut

    Δ=42−4×5×1=−4=(2i)2\Delta =4^{2} - 4\times 5\times 1= - 4=\left(2i\right)^{2}

    L'équation (E1) a deux solutions complexes:

    z1=4+2i2=2+iz_{1}=\frac{4+2i}{2}=2+i

    z2=4−2i2=2−iz_{2}=\frac{4 - 2i}{2}=2 - i

    Le point d'affixe -5 a pour antécédents les points M1(2+i)M_{1}\left(2+i\right) et M2(2−i)M_{2}\left(2 - i\right).

    1. z′+4=z2−4z+4=(z−2)2z^{\prime}+4=z^{2} - 4z+4=\left(z - 2\right)^{2}

    2. On en déduit :

      ∣z′+4∣=∣(z−2)2∣=∣z−2∣2|z^{\prime}+4|=|\left(z - 2\right)^{2}|=|z - 2|^{2}

      et

      arg(z′+4)=arg((z−2)2)=2arg(z−2) (2π)\text{arg}\left(z^{\prime}+4\right)=\text{arg}\left(\left(z - 2\right)^{2}\right)=2\text{arg}\left(z - 2\right)\ \left(2\pi \right) pour z≠2z\neq 2 ┐

    3. Si M appartient au cercle (C), MJ=2MJ=2 donc ∣z−2∣=2|z - 2|=2 et ∣z′+4∣=∣z−2∣2=4|z^{\prime}+4|=|z - 2|^{2}=4.

      M′M^{\prime} appartient donc au cercle (C′)\left(C^{\prime}\right) de centre JJ d'affixe −4 - 4 et de rayon 44.

      Réciproquement si M′M^{\prime} appartient donc au cercle (C′)\left(C^{\prime}\right) de centre JJ d'affixe −4 - 4 et de rayon 44 : ∣z−2∣2=∣z′+4∣=4|z - 2|^{2}=|z^{\prime}+4|=4 donc ∣z−2∣=2|z - 2|=2 et MM appartient au cercle (C)\left(C\right).

      Donc, lorsque MM décrit le cercle (C)\left(C\right), M′M^{\prime} décrit le cercle (C′)\left(C^{\prime}\right) de centre JJ d'affixe −4 - 4 et de rayon 44.

    1. zIE→=zE−zI=2ei2π3z_{\overrightarrow{IE}}=z_{E} - z_{I}=2e^{ i \frac{2\pi }{3}}

      Donc :

      IE=∣zIE→∣=2IE=|z_{\overrightarrow{IE}}|=2

      et

      (u⃗;IE→)=2π3 (2π)\left(\vec{u};\overrightarrow{IE}\right)=\frac{2\pi }{3}\ \left(2\pi \right)

    2. ∣zE′−zJ∣=∣zE′+4∣=∣zE−2∣2=4|z_{E^{\prime}} - z_{J}|=|z_{E^{\prime}}+4|=|z_{E} - 2|^{2}=4

      (u⃗;JE′→)=arg(zE′−zJ)=2arg(zE−2)=4π3(2π)\left(\vec{u};\overrightarrow{JE^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z_{E^{\prime}} - z_{J}\right)=2\text{arg}\left(z_{E} - 2\right)=\frac{4\pi }{3} \left(2\pi \right) ┐

    3. E′E^{\prime} est sur le cercle (C′)\left(C^{\prime}\right) et (u⃗;JE′→)=4π3 (2π)\left(\vec{u};\overrightarrow{JE^{\prime}}\right)=\frac{4\pi }{3}\ \left(2\pi \right) ce qui permet de construire le point E′E^{\prime} :

      Géométrie et complexes

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