Exercice corrigéExercice 4
5 points-Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right), on associe à tout point M d'affixe z non nulle, le point M' milieu du segment \left[MM_{1}\right] où M_{1} est le point d'affixe \frac{1}{z}.
Le point M' est appelé l'image du point M.
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- Montrer que les distances OM et OM_{1} vérifient la relation OM \times OM_{1}=1 et que les angles \left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right) et \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) vérifient l'égalité des mesures suivantes
\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)=- \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) à 2\pi près. - Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).
- Montrer que les distances OM et OM_{1} vérifient la relation OM \times OM_{1}=1 et que les angles \left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right) et \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) vérifient l'égalité des mesures suivantes
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- Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M' a pour affixe z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right).
- Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.
- Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).
- Déterminer l'ensemble des points M tels que M^{\prime}=M.
- Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.
Corrigé
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- OM=|z| et OM_{1}=|\frac{1}{z}| donc :
OM\times OM_{1}=|z|\times |\frac{1}{z}|=|z \times \frac{1}{z}|=1
De plus :
\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right)=\arg\left(z\right)..\left[2\pi \right]
\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM_{1}}\right)=\arg\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg\left(z\right)..\left[2\pi \right]
donc :
\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)=-\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) ..\left[2\pi \right]. - Le point A_{1} est le point du cercle de centre O et de rayon \frac{1}{2} tel que les demi-droites [OA) et [OA1) soient symétriques par rapport à l'axe des abscisses. A' est le milieu de [AA1]
- OM=|z| et OM_{1}=|\frac{1}{z}| donc :
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- z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z_{M}+z_{M_{1}}\right)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)
- z_{B^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(2\text{i}+\frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left(2\text{i}-\frac{\text{i}}{2}\right)=\frac{3}{4}\text{i}
z_{C^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(-2\text{i}-\frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left(-2\text{i}+\frac{\text{i}}{2}\right)=-\frac{3}{4}\text{i} -
- M=M^{\prime} si et seulement si :
z=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)
2z=z+\frac{1}{z}
z=\frac{1}{z}
z^{2}=1
z=1 ou z=-1
L''ensemble des points M tels que M^{\prime}=M est l'ensemble formé des points K et L d'affixes respectives -1 et 1. - Soit M d'affixe z=\text{e}^{\text{i}\theta } un point du cercle de centre O et de rayon 1. On a:
z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{\text{e}^{\text{i}\theta }}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\text{e}^{-\text{i}\theta }\right)=\cos \theta
\cos \theta est un réel compris entre -1 et 1 donc M^{\prime} appartient bien au segment \left[KL\right].