Nombres complexes - Bac S Métropole 2009

Exercice 4

5 points-Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$ , on associe à tout point M d'affixe $z$ non nulle, le point M' milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\frac{1}{z}$ .
Le point M' est appelé l'image du point M.

1. Montrer que les distances $OM$ et $OM_{1}$ vérifient la relation $OM \times OM_{1}=1$ et que les angles $\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)$ et $\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes
  $\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)=- \left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right)$ à $2\pi$ près.
2. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
  Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).
1. Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point M' a pour affixe $z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ .
2. Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.
3. Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).
Déterminer l'ensemble des points M tels que $M^{\prime}=M$ .
Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.

Corrigé

1. $OM=|z|$ et $OM_{1}=|\frac{1}{z}|$ donc :
  $OM\times OM_{1}=|z|\times |\frac{1}{z}|=|z \times \frac{1}{z}|=1$
  De plus :
  $\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right)=\arg\left(z\right)..\left[2\pi \right]$
  $\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM_{1}}\right)=\arg\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg\left(z\right)..\left[2\pi \right]$
  donc :
  $\left(\vec{u};\overrightarrow{OM_{1}}\right)=-\left(\vec{u};\overrightarrow{OM}\right) ..\left[2\pi \right]$ .
2. Le point $A_{1}$ est le point du cercle de centre O et de rayon $\frac{1}{2}$ tel que les demi-droites [OA) et [OA1) soient symétriques par rapport à l'axe des abscisses. A' est le milieu de [AA1]
1. $z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(z_{M}+z_{M_{1}}\right)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$
2. $z_{B^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(2\text{i}+\frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left(2\text{i}-\frac{\text{i}}{2}\right)=\frac{3}{4}\text{i}$
  $z_{C^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(-2\text{i}-\frac{1}{2\text{i}}\right)=\frac{1}{2}\left(-2\text{i}+\frac{\text{i}}{2}\right)=-\frac{3}{4}\text{i}$
$M=M^{\prime}$ si et seulement si :
$z=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$
$2z=z+\frac{1}{z}$
$z=\frac{1}{z}$
$z^{2}=1$
$z=1$ ou $z=-1$
L''ensemble des points $M$ tels que $M^{\prime}=M$ est l'ensemble formé des points $K$ et $L$ d'affixes respectives -1 et 1.
Soit $M$ d'affixe $z=\text{e}^{\text{i}\theta }$ un point du cercle de centre O et de rayon 1. On a:
$z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{\text{e}^{\text{i}\theta }}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\text{i}\theta }+\text{e}^{-\text{i}\theta }\right)=\cos \theta$
$\cos \theta$ est un réel compris entre -1 et 1 donc $M^{\prime}$ appartient bien au segment $\left[KL\right]$ .

Exercice 4

Corrigé

Bac S Métropole 2009

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