Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques »

Dans cet exercice, $x$ et $y$ sont des nombres réels supérieurs à 1.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O~;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives

Problème : on cherche les valeurs éventuelles des réels $x$ et $y$, supérieures à 1, pour lesquelles : $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$ et $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right).$

1. Démontrer que si $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$, alors $y^2 = 2x^2 + 1$.

2. Reproduire sur la copie et compléter l'algorithme ci-après pour qu'il affiche tous les couples $(x,~y)$ tels que :

   $\left\{\begin{array}{l} y^2 = 2x^2 + 1\\ x~\text{et}~y~\text{sont des nombres entiers} \\ 1 \leqslant x \leqslant 10 ~\text{et}~ 1 \leqslant y \leqslant 10 \end{array}\right.$

   

   Lorsque l'on exécute cet algorithme, il affiche la valeur $2$ pour la variable $x$ et la valeur $3$ pour la variable $y$.

3. Étude d'un cas particulier : dans cette question seulement, on prend $x = 2$ et $y = 3$.

   1. Donner le module et un argument de $z_{\text{A}}$.

   2. Montrer que $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$.

   3. Montrer que $z_{\text{B}}z_{\text{C}} = 5 z_{\text{A}}$ et en déduire que : $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right)$$= \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right)$.

4. On revient au cas général, et on cherche s'il existe d'autres valeurs des réels $x$ et $y$ telles que les points A, B et C vérifient les deux conditions :

   $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} \quad$ et $\: \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right)$$= \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right)$.

   On rappelle que si $\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}$, alors $y^2 = 2x^2 + 1$ (question 1.).

   1. Démontrer que si $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right)$$= \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right)$, alors arg$\left[\dfrac{(x + \text{i})(y + \text{i})}{1 + \text{i}}\right] = 0$$\:\text{mod }\: 2\pi$.

      En déduire que sous cette condition : $x + y - xy + 1 = 0$.

   2. Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus $x \neq 1$, alors :

      $y= \sqrt{2x^2 + 1}\quad$ et $\: y = \dfrac{x + 1}{x - 1}.$

5. On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par :

   $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}\quad$ et $\: g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}.$

   Déterminer le nombre de solutions du problème initial.

   On pourra utiliser la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par $h(x) = f(x) - g(x)$ et s'appuyer sur la copie d'écran d'un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous.