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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes – Bac S Asie 2018

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques »

Dans cet exercice, xx et yy sont des nombres réels supérieurs à 1.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; i, j , k)(O~;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k}), on considère les points A, B et C d'affixes respectives

zA=1+i,zB=x+i et zC=y+i.z_{\text{A}} = 1 + \text{i}, \: z_{\text{B}} = x + \text{i}\: \text{ et }\: z_{\text{C}} = y + \text{i}.

Nombres complexes Bac S Asie 2018

Problème : on cherche les valeurs éventuelles des réels xx et yy, supérieures à 1, pour lesquelles : OC=OA×OB\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} et (u, OB)+(u, OC)=(u, OA).\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right).

  1. Démontrer que si OC=OA×OB\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}, alors y2=2x2+1y^2 = 2x^2 + 1.

  2. Reproduire sur la copie et compléter l'algorithme ci-après pour qu'il affiche tous les couples (x, y)(x,~y) tels que :

    {y2=2x2+1x et y sont des nombres entiers1x10 et 1y10\left\{\begin{array}{l} y^2 = 2x^2 + 1\\ x~\text{et}~y~\text{sont des nombres entiers} \\ 1 \leqslant x \leqslant 10 ~\text{et}~ 1 \leqslant y \leqslant 10 \end{array}\right.

    algorithme Bac S Asie 2018

    Lorsque l'on exécute cet algorithme, il affiche la valeur 22 pour la variable xx et la valeur 33 pour la variable yy.

  3. Étude d'un cas particulier : dans cette question seulement, on prend x=2x = 2 et y=3y = 3.

    1. Donner le module et un argument de zAz_{\text{A}}.

    2. Montrer que OC=OA×OB\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}.

    3. Montrer que zBzC=5zAz_{\text{B}}z_{\text{C}} = 5 z_{\text{A}} et en déduire que : (u, OB)+(u, OC)\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right)=(u, OA) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right).

  4. On revient au cas général, et on cherche s'il existe d'autres valeurs des réels xx et yy telles que les points A, B et C vérifient les deux conditions :

    OC=OA×OB\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB} \quad et (u, OB)+(u, OC)\: \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right)=(u, OA) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right).

    On rappelle que si OC=OA×OB\text{OC} = \text{OA} \times \text{OB}, alors y2=2x2+1y^2 = 2x^2 + 1 (question 1.).

    1. Démontrer que si (u, OB)+(u, OC)\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OC}}\right)=(u, OA) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{OA}}\right), alors arg[(x+i)(y+i)1+i]=0\left[\dfrac{(x + \text{i})(y + \text{i})}{1 + \text{i}}\right] = 0mod 2π \:\text{mod }\: 2\pi.

      En déduire que sous cette condition : x+yxy+1=0x + y - xy + 1 = 0.

    2. Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus x1x \neq 1, alors :

      y=2x2+1y= \sqrt{2x^2 + 1}\quad et y=x+1x1.\: y = \dfrac{x + 1}{x - 1}.

  5. On définit les fonctions ff et gg sur l'intervalle ]1 ; +[]1~;~+ \infty[ par :

    f(x)=2x2+1f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}\quad et g(x)=x+1x1.\: g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}.

    Déterminer le nombre de solutions du problème initial.

    On pourra utiliser la fonction hh définie sur l'intervalle ]1 ; +[]1~;~+ \infty[ par h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x) - g(x) et s'appuyer sur la copie d'écran d'un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous.

    Calcul formel Bac S Asie 2018