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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Géométrie dans l'espace – Bac S Asie 2018

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'axes (Oxx), (Oyy) et (Ozz).

Dans ce repère, on donne les points A(3 ; 0 ; 0)( - 3~;~0~;~0), B(3 ; 0 ; 0) , C(0 ; 33 ; 0)\left(0~;~3\sqrt{3}~;~0\right) et D(0 ; 3 ; 26)\left(0~;~\sqrt{3}~;~2\sqrt{6}\right).

On note H le milieu du segment [CD] et I le milieu du segment [BC].

Tétraèdre Bac S Asie 2018

  1. Calculer les longueurs AB et AD.

    On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide ABCD ont la même longueur, c'est-à-dire que le tétraèdre ABCD est un tétraèdre régulier.
    On appelle P\mathscr{P} le plan de vecteur normal OH\overrightarrow{\text{OH}} et passant par le point I.

  2. Étude de la section du tétraèdre ABCD par le plan P\mathscr{P}

    1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan P\mathscr{P} est : 2y3+z69=02y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9 = 0.

    2. Démontrer que le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan P\mathscr{P}.

    3. Donner une représentation paramétrique de la droite (AD), puis démontrer que le plans P\mathscr{P} et la droite (AD) sont sécants en un point K dont on déterminera les coordonnées.

    4. Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.

    5. Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre ABCD par le plan P\mathscr{P}.

  3. Peut-on placer un point M sur l'arête [BD] tel que le triangle OIM soit rectangle en M ?