Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'axes (O$x$), (O$y$) et (O$z$).

Dans ce repère, on donne les points A$( - 3~;~0~;~0)$, B(3 ; 0 ; 0) , C$\left(0~;~3\sqrt{3}~;~0\right)$ et D$\left(0~;~\sqrt{3}~;~2\sqrt{6}\right)$.

On note H le milieu du segment [CD] et I le milieu du segment [BC].

1. Calculer les longueurs AB et AD.

   On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide ABCD ont la même longueur, c'est-à-dire que le tétraèdre ABCD est un tétraèdre régulier.
   On appelle $\mathscr{P}$ le plan de vecteur normal $\overrightarrow{\text{OH}}$ et passant par le point I.

2. Étude de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathscr{P}$

   1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est : $2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9 = 0$.

   2. Démontrer que le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan $\mathscr{P}$.

   3. Donner une représentation paramétrique de la droite (AD), puis démontrer que le plans $\mathscr{P}$ et la droite (AD) sont sécants en un point K dont on déterminera les coordonnées.

   4. Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.

   5. Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre ABCD par le plan $\mathscr{P}$.

3. Peut-on placer un point M sur l'arête [BD] tel que le triangle OIM soit rectangle en M ?