Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant choisi la spécialité « mathématiques »

On s'intéresse à la figure suivante, dans laquelle $a$, $b$ et $c$ désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en O dessinés ci-dessous.

Problème : on cherche les couples de nombres entiers naturels non nuls $(u,~v)$ tels que $ab = c$.

1. Modélisation

   Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l'équation :

   $(E)~:\quad v^2 - 2u^2 = 1\quad$ ($v$ et $u$ étant des entiers naturels non nuls).

2. Recherche systématique de solutions de l'équation $(E)$

   Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l'équation pour lesquels $1 \leqslant u \leqslant 1~000$ et $1 \leqslant v \leqslant 1~000$.

   

   Au cours de son exécution, l'algorithme affiche :
   

   2 3
   12 17
   70 99
   408 577
   

3. Analyse des solutions éventuelles de l'équation $(E)$

   On suppose que le couple $(u,~v)$ est une solution de l'équation $(E)$.

   1. Établir que $u < v$.

   2. Démontrer que $n$ et $n^2$ ont la même parité pour tout entier naturel $n$.

   3. Démontrer que $v$ est un nombre impair.

   4. Établir que $2u^2 =(v - 1)(v+1)$.

      En déduire que $u$ est un nombre pair.

4. Une famille de solutions

   On assimile un couple de nombres entiers $(u,~v)$ à la matrice colonne $X = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.$ On définit également la matrice $A = \begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$.

   1. Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l'équation $(E)$, alors $AX$ est aussi une solution de l'équation $(E)$.

   2. Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l'équation $(E)$, alors pour tout entier naturel $n$,  $A^n X$ est aussi une solution de l'équation $(E)$.

   3. À l'aide de la calculatrice, donner un couple $(u,~v)$ solution de l'équation $(E)$ tel que $v > 10~000$.