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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Arithmétique – Bac S Asie 2018 (spé)

Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant choisi la spécialité « mathématiques »

On s'intéresse à la figure suivante, dans laquelle aa, bb et cc désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en O dessinés ci-dessous.

Arithmétique – Bac S Asie 2018 (spé)

Problème : on cherche les couples de nombres entiers naturels non nuls (u, v)(u,~v) tels que ab=cab = c.

  1. Modélisation

    Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l'équation :

    (E) :v22u2=1(E)~:\quad v^2 - 2u^2 = 1\quad (vv et uu étant des entiers naturels non nuls).

  2. Recherche systématique de solutions de l'équation (E)(E)

    Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l'équation pour lesquels 1u1 0001 \leqslant u \leqslant 1~000 et 1v1 0001 \leqslant v \leqslant 1~000.

    Algorithme Bac S Asie 2018 (spé)

    Au cours de son exécution, l'algorithme affiche :

    2 3
    12 17
    70 99
    408 577

  3. Analyse des solutions éventuelles de l'équation (E)(E)

    On suppose que le couple (u, v)(u,~v) est une solution de l'équation (E)(E).

    1. Établir que u<vu < v.

    2. Démontrer que nn et n2n^2 ont la même parité pour tout entier naturel nn.

    3. Démontrer que vv est un nombre impair.

    4. Établir que 2u2=(v1)(v+1)2u^2 =(v - 1)(v+1).

      En déduire que uu est un nombre pair.

  4. Une famille de solutions

    On assimile un couple de nombres entiers (u, v)(u,~v) à la matrice colonne X=(uv).X = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}. On définit également la matrice A=(3243)A = \begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}.

    1. Démontrer que si une matrice colonne XX est une solution de l'équation (E)(E), alors AXAX est aussi une solution de l'équation (E)(E).

    2. Démontrer que si une matrice colonne XX est une solution de l'équation (E)(E), alors pour tout entier naturel nnAnXA^n X est aussi une solution de l'équation (E)(E).

    3. À l'aide de la calculatrice, donner un couple (u, v)(u,~v) solution de l'équation (E)(E) tel que v>10 000v > 10~000.