Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une ferme aquatique exploite une population de crevettes qui évolue en fonction de la reproduction naturelle et des prélèvements effectués.

La masse initiale de celte population de crevettes est estimée à $100$ tonnes.

Compte tenu des conditions de reproduction et de prélèvement, on modélise la masse de la population de crevettes, exprimée en tonne, en fonction du temps, exprimé en semaine, par la fonction $f_p$, définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :

où $p$ est un paramètre strictement compris entre $0$ et $1$ et qui dépend des différentes conditions de vie et d'exploitation des crevettes.

1. Cohérence du modèle

   1. Calculer $f_p(0)$.

   2. On rappelle que $0 < p < 1$.

      Démontrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0$,  $1 - (1 - p)\text{e}^{ - pt} \geqslant p$.

   3. En déduire que pour tout nombre réel $t \geqslant 0$,  $0 < f_p(t) \leqslant 100$.

2. Étude de l'évolution lorsque $p = 0,9$

   Dans cette question, on prend $p = 0,9$ et on étudie la fonction $f_{0,9}$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :

   $f_{0,9}(t) = \dfrac{90}{1 - 0,1 \text{e}^{ - 0,9t}}.$

   1. Déterminer les variations de la fonction $f_{0,9}$.

   2. Démontrer pour tout nombre réel $t \geqslant 0$,  $f_{0,9}(t) \geqslant 90$.

   3. Interpréter les résultats des questions 2. a. et 2. b. dans le contexte.

3. Retour au cas général

   On rappelle que $0 < p < 1$.

   Exprimer en fonction de $p$ la limite de $f_p$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.

4. Dans cette question, on prend $p = \dfrac{1}{2}$.

   1. Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :

      $H(t) = 100\ln \left(2 - \text{e}^{ - \frac{t}{2}}\right) + 50t$

      est une primitive de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ sur cet intervalle.

   2. En déduire la masse moyenne de crevettes lors des 5 premières semaines d'exploitation, c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ sur l'intervalle $[0~;~5].$

      En donner une valeur approchée arrondie à la tonne.