Exercice 2

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe.
Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

• 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.

• 15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.

On note, pour tout entier naturel $n$ ;

• $a_{n}$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois soit favorable à ce groupe politique.

• $b_{n}$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.

• $P_{n}=\left(a_{n} \quad b_{n}\right)$, la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de $n$ mois.

On note $M$ la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel $n$ : $P_{n+1}=P_{n} \times M$.

Première partie

1. Déterminer la matrice $P_{0}$ donnant l'état probabiliste initial.

2. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.

3. On admet que $M=\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}$.

   Déterminer la matrice $P_{2}$ en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).

4. Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.

Deuxième partie

1. Montrer que $a_{n+1}=0,75 a_{n}+0,15$ pour tout entier naturel $n$.

2. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que $u_{n}=a_{n} - 0,6$ pour tout entier naturel $n$.

3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,75$.

4. En déduire que $a_{n}= - 0,1 \times \left(0,75\right)^{n}+0,6$ pour tout entier naturel $n$.

5. Calculer la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.