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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Ajustement affine et exponentiel - Bac ES Centres étrangers 2009

Exercice 3

6 points - Commun à tous les candidats

Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963.

Le tableau suivant indique la quantité extraite yiy_{i} en tonnes durant l'année désignée par son rang xix_{i} :

Année 1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998 2003 2008
Rang xix_{i} de l'année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Quantité extraite yiy_{i} en tonnes 18,1 15,7 13,3 11 9,3 7,8 7,1 6,1 5,2 4,3
Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans le repère orthogonal (O ; I, J) de l'annexe 1. Les unités graphiques de ce repère sont 1cm en abscisse et 0,5cm en ordonnée.

Dans cet exercice, on désigne par la variable yy la quantité extraite en tonnes et par la variable xx le rang de l'année.

Première partie

En première approximation, on envisage de représenter yy en tant que fonction affine de xx.

La droite DD d'ajustement affine de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation y=1,5x+16,5y= - 1,5 x+16,5 dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

  1. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repère de l'annexe 1.

  2. Tracer la droite DD dans le repère de l'annexe 1.

  3. En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au dixième de tonne près, l'exploitation peut-elle prévoir d'extraire durant l'année 2013 ?

 

Deuxième partie

On admet que la courbe tracée en annexe 1 représente un ajustement exponentiel de yy en fonction de xx et que son équation est de la forme y=kepxy=k \text{e}^{px}kk est un entier naturel et pp un nombre réel.

Bac ES Etrangers 2009 1

  1. En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai extrait, au dixième de tonne près, que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013.

  2. En supposant que la courbe passe parles points A(0; 18) et B(3; 11,2), calculer l'entier naturel kk et le réel pp dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième.

 

Troisième partie

On effectue le changement de variable z=lnyz=\ln y et on pose zi=lnyiz_{i}=\ln y_{i}.

  1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :

    xix_{i} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    ziz_{i}

  2. À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de zz en xx obtenue par la méthode des moindres carrés.

  3. En déduire l'expression de yy en fonction de xx sous la forme y=kepxy=k\text{e}^{px} et retrouver ainsi, en arrondissant kk au dixième, les coefficients kk et pp calculés à la question 2. de la deuxième partie.