Exercice 3

6 points - Commun à tous les candidats

Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963.

Le tableau suivant indique la quantité extraite $y_{i}$ en tonnes durant l'année désignée par son rang $x_{i}$ :

Dans cet exercice, on désigne par la variable $y$ la quantité extraite en tonnes et par la variable $x$ le rang de l'année.

Première partie

En première approximation, on envisage de représenter $y$ en tant que fonction affine de $x$.

La droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation $y= - 1,5 x+16,5$ dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

1. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repère de l'annexe 1.

2. Tracer la droite $D$ dans le repère de l'annexe 1.

3. En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au dixième de tonne près, l'exploitation peut-elle prévoir d'extraire durant l'année 2013 ?

Deuxième partie

On admet que la courbe tracée en annexe 1 représente un ajustement exponentiel de $y$ en fonction de $x$ et que son équation est de la forme $y=k \text{e}^{px}$ où $k$ est un entier naturel et $p$ un nombre réel.

1. En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai extrait, au dixième de tonne près, que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013.

2. En supposant que la courbe passe parles points A(0; 18) et B(3; 11,2), calculer l'entier naturel $k$ et le réel $p$ dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième.

Troisième partie

On effectue le changement de variable $z=\ln y$ et on pose $z_{i}=\ln y_{i}$.

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :

   $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   $z_{i}$

2. À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

3. En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y=k\text{e}^{px}$ et retrouver ainsi, en arrondissant $k$ au dixième, les coefficients $k$ et $p$ calculés à la question 2. de la deuxième partie.