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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude de fonction Calcul d'aire - Bac ES Centres étrangers 2009

Exercice 4

5 points - Commun à tous les candidats

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par

f(x)=5exex+1f\left(x\right)=\frac{5\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}

On désigne par ff^{\prime} la fonction dérivée de ff et par FF la primitive de ff sur R\mathbb{R} qui vérifie F(0)=0F\left(0\right)=0.

Dans le repère orthonormal d'unité 2cm de l'annexe 2, la courbe (Cf)\left(C_{f}\right) tracée représente la fonction ff et la droite DD est sa tangente au point A(0;52)A\left(0; \frac{5}{2}\right).

Bac_ES_Etrangers_2009

Première partie

  1. La courbe (Cf)\left(C_{f}\right) admet pour asymptotes en - \infty la droite d'équation y=0y=0 et en ++ \infty la droite d'équation y=5y=5. En déduire limxf(x)\lim_{x \rightarrow - \infty } f\left(x\right) et limx+f(x)\lim_{x \rightarrow +\infty } f\left(x\right).

  2. Démontrer que, pour tout nombre réel x,f(x)=5ex(ex+1)2x,f^{\prime}\left(x\right)=\frac{5\text{e}^{x}}{\left(\text{e}^{x}+1 \right)^{2}}.

  3. Etudier le signe de f(x)f^{\prime}\left(x\right) suivant les valeurs de xx et en déduire le sens de variation de ff sur R\mathbb{R}.

  4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite DD.

Deuxième partie

  1. Pour tout réel xx, exprimer F(x)F\left(x\right) en fonction de xx.

  2. Vérifier que F(1)=5ln(e+12)F\left(1\right)=5\ln \left(\frac{\text{e}+1}{2}\right).

  3. Sur l'annexe 2, le domaine grisé est délimité par la courbe (Cf)\left(C_{f}\right), les axes de coordonnées et la droite d'équation x=1x=1.

    Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.