Exercice 4

5 points - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ et par $F$ la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F\left(0\right)=0$.

Dans le repère orthonormal d'unité 2cm de l'annexe 2, la courbe $\left(C_{f}\right)$ tracée représente la fonction $f$ et la droite $D$ est sa tangente au point $A\left(0; \frac{5}{2}\right)$.

Première partie

1. La courbe $\left(C_{f}\right)$ admet pour asymptotes en $- \infty$ la droite d'équation $y=0$ et en $+ \infty$ la droite d'équation $y=5$. En déduire $\lim_{x \rightarrow - \infty } f\left(x\right)$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty } f\left(x\right)$.

2. Démontrer que, pour tout nombre réel $x,f^{\prime}\left(x\right)=\frac{5\text{e}^{x}}{\left(\text{e}^{x}+1 \right)^{2}}$.

3. Etudier le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite $D$.

Deuxième partie

1. Pour tout réel $x$, exprimer $F\left(x\right)$ en fonction de $x$.

2. Vérifier que $F\left(1\right)=5\ln \left(\frac{\text{e}+1}{2}\right)$.

3. Sur l'annexe 2, le domaine grisé est délimité par la courbe $\left(C_{f}\right)$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x=1$.

   Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.