Logarithme – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

Exercice 4 – 6 points

Commun à tous les candidats

La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0,5~;6].

Les points A\ (1~;~3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.

On note f^\prime la fonction dérivée de f.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Etude graphique

1. Déterminer f^\prime(1,5).
2. La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0\,;\,2). Déterminer une équation de cette tangente.
3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=2.
4. Déterminer la convexité de la fonction f sur [0,5\,;\,6]. Argumenter la réponse.

Partie B

Etude analytique

On admet que la fonction f est définie sur [0,5~;~6] par

1. Pour tout réel x de [0,5~;~6], calculer f^\prime(x) et montrer que f^\prime(x)=\dfrac{-2x+3}{x}.
2. Étudier le signe de f^\prime sur [0,5~;~6] puis dresser le tableau de variation de f sur [0,5~;~6].
3. Montrer que l’équation f(x)=0 admet exactement une solution \alpha sur [0,5\,;\,6].
   Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
4. En déduire le tableau de signe de f sur [0,5~;~6].
5. On considère la fonction F définie sur [0,5~;~6] par
   F(x)= -x^2 +2x +3x \ln(x).
   1. Montrer que F est une primitive de f sur [0,5~;~6].
   2. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.