(D'après Bac ES Métropole 2009)

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[ - 2 ; 5\right]$, décroissante sur chacun des intervalles $\left[ - 2 ; 0\right]$ et $\left[2 ; 5\right]$ et croissante sur l'intervalle $\left[0 ; 2\right]$.

On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $\left[ - 2 ; 5\right]$.

La courbe $\left(\Gamma \right)$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points $A\left( - 2; 9\right), B\left(0; 4\right), C\left(1;4,5\right), D\left(2;5\right)$ et $E\left(4; 0\right)$.

En chacun des points $B$ et $D$. la tangente à la courbe $\left(\Gamma \right)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $F$ le point de coordonnées $\left(3; 6\right)$.

La droite $\left(CF\right)$ est la tangente à la courbe $\left(\Gamma \right)$ au point $C$.

1. À l'aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :

   1. les valeurs de $f\left(0\right)$, $f^{\prime}\left(1\right)$ et $f^{\prime}\left(2\right)$.

   2. le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[ - 2; 5\right]$.

   3. le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[ - 2; 5\right]$.

2. On considère la fonction $g$ définie par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

   1. Expliquer pourquoi la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\left[ - 2; 4\right[$.

   2. Calculer $g\left( - 2\right), g\left(0\right)$ et $g\left(2\right)$.

   3. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[ - 2; 4\right[$.