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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Médianes d'un tétraèdre - Bac S Pondichéry 2011

Exercice 2

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

Tétraèdre régulier - Bac S Pondichéry 2011

A' est le centre de gravité du triangle BCD.

Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA'] est une médiane du tétraèdre ABCD.

  1. On souhaite démontrer la propriété suivante : P1 : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

    1. Montrer que AA′→.BD→=0\overrightarrow{AA^{\prime}} . \overrightarrow{BD}=0 et que AA′→.BC→=0\overrightarrow{AA^{\prime}} . \overrightarrow{BC}=0.

      (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).

    2. En déduire que la médiane (AA') est orthogonale à la face BCD.

      Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

  2. G est l'isobarycentre des points A, B, C et D.

    On souhaite démontrer la propriété suivante : P2 : Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en G. En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA'), puis conclure.

Partie II

On munit l'espace d'un repère orthonormal (O;i⃗,j⃗,k⃗)\left(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right).

On considère les points P(1;2;3),Q(4;2;−1)P\left(1 ; 2 ; 3\right), Q\left(4 ; 2 ; - 1\right) et R(−2;3;0)R\left( - 2 ; 3 ; 0\right).

  1. Montrer que le tétraèdre OPQROPQR n'est pas régulier.

  2. Calculer les coordonnées de P′P^{\prime}, centre de gravité du triangle OQROQR.

  3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR)\left(OQR\right) est : 3x+2y+16z=03x+2y+16z=0.

  4. La propriété P1 de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

Corrigé

Partie I

    1. Soit I le milieu du segment [BD]. La droite (CI) est une médiane et donc une hauteur du triangle équilatéral BCD. Comme le point A' appartient à cette hauteur, A′I→.BD→=0\overrightarrow{A^{\prime}I}.\overrightarrow{BD}=0.

      De même (AI) est une hauteur du triangle ABD donc AI→.BD→=0\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}=0.

      D'après la relation de Chasles :

      AA′→.BD→=(AI→+IA′→).BD→=AI→.BD→+IA′→.BD→=0\overrightarrow{AA^{\prime}}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IA^{\prime}}\right).\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{IA^{\prime}}.\overrightarrow{BD}=0

      On démontre de la même manière que AA′→.BC→=0\overrightarrow{AA^{\prime}}.\overrightarrow{BC}=0.

    2. La médiane (AA') est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BCD) donc elle est orthogonale au plan (BCD).

  2. G est la barycentre du système {(A;1),(B;1),(C;1),(D;1)} donc d'après l'associativité du barycentre, G est le barycentre de {(A;1),(A';3)} donc G appartient à la médiane (AA').

    La démonstration est analogue pour les autres médianes.

    Donc les médianes du tétraèdre ABCD sont concourantes en G.

Partie II

  1. OP=12+22+32=14OP=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}

    OQ=42+22+(−1)2=21OQ=\sqrt{4^{2}+2^{2}+\left( - 1\right)^{2}}=\sqrt{21}

    OP≠OQOP\neq OQ donc le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.

  2. xP=13×(xO+xQ+xR)=1+4−23=1x_{P}=\frac{1}{3}\times \left(x_{O}+x_{Q}+x_{R}\right)=\frac{1+4 - 2}{3}=1

    yP=2+2−33=13y_{P}=\frac{2+2 - 3}{3}=\frac{1}{3}

    zP=3−13=23z_{P}=\frac{3 - 1}{3}=\frac{2}{3}

  3. Les coordonnées de O, Q, R vérifient l'équation 3x+2y+16z=03x+2y+16z=0.

    En effet :

    3×0+2×0+16×0=03\times 0+2\times 0+16\times 0=0

    3×4+2×2+16×(−1)=03\times 4+2\times 2+16\times \left( - 1\right)=0

    3×(−2)+2×3+16×0=03\times \left( - 2\right)+2\times 3+16\times 0=0

    Donc 3x+2y+16z=03x+2y+16z=0 est bien une équation du plan (OQR).

  4. La propriété P1 n'est pas vraie dans ce tétraèdre car la droite (PP') n'est pas orthogonale au plan (OQR). En effet, le vecteur PP′→\overrightarrow{PP^{\prime}} a pour coordonnées (23−1;53−2;−13−3)\left(\frac{2}{3} - 1;\frac{5}{3} - 2; - \frac{1}{3} - 3\right) c'est-à-dire

    (−13;−13;−103)\left( - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{10}{3}\right).

    Or, un vecteur normal au plan (OQR) est n(3;2;16)n\left(3;2;16\right). Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur PP′→\overrightarrow{PP^{\prime}}.

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