Exercice 2

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère, dans un repère $\left(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l'espace, la surface (S) d'équation :

1. On note (E₁) l'intersection de (S) avec le plan (P₁) d'équation $z=0$.

   Déterminer la nature de (E₁).

2. On note (E₂) l'intersection de (S) avec le plan (P₂) d'équation $x=1$. Déterminer la nature de (E₁).

Partie B

On considère, dans un repère $\left(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l'espace, la surface (S') d'équation :

1. On note (E₃) l'intersection de (S') avec le plan (P₁) d'équation $z=0$.

   Déterminer la nature de (E₃)

2. On note (E₄) l'intersection de (S') avec le plan (P₃) d'équation $z=1$.

   Déterminer la nature de (E₄).

Partie C

On note (E₅) l'intersection de (S) et de (S').

Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à (E₅) dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0).

On suppose qu'il existe un point M appartenant à (E₅) et dont les coordonnées $x$, $y$ et $z$ sont des entiers naturels.

1. Montrer que si $x=0$, alors le point M est le point O.

2. On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul.

   1. Montrer que les entiers $x$, $y$ et $z$ vérifient $x^{2} - 3xy+y^{2}=0$.

      En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ premiers entre eux tels que $x^{\prime 2} - 3x^{\prime}y^{\prime}+y^{\prime 2}=0$.

   2. Montrer que $x^{\prime}$ divise $y^{\prime 2}$, puis que $x^{\prime}$ divise $y^{\prime}$.

   3. Établir que $y^{\prime}$ vérifie la relation $1 - 3y^{\prime}+y^{\prime 2}=0$.

   4. Conclure.