Exercice corrigéExercice 2
5 points-Commun à tous candidats
Partie A : Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle \left[a; b\right] avec a < b.
- Si u \geqslant 0 sur \left[a; b\right] alors \int_{a}^{b} u\left(x\right)dx \geqslant 0.
- Pour tous réels \alpha et \beta , \int_{a}^{b} \left[\alpha u\left(x\right)+\beta v\left(x\right)\right]dx=\alpha \int_{a}^{b} u\left(x\right)dx+ \beta \int_{a}^{b} v\left(x\right)dx.
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle \left[a; b\right] avec a < b et si, pour tout x de \left[a; b\right], f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) alors \int_{a}^{b} f\left(x\right)dx \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right)dx.
ﾠ
Partie B
On considère la fonction f définie sur l'intervalle \left[0;1\right] par f\left(x\right)=e^{-x^{2}} et on définit la suite \left(u_{n}\right) par :
- u_{0}=\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx
- pour tout entier naturel n non nul, u_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} f\left(x\right)dx=\int_{0}^{1} x^{n} e^{-x^{2}}dx
- Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle \left[0;1\right], \frac{1}{e} \leqslant f\left(x\right) \leqslant 1.
- En déduire que \frac{1}{e} \leqslant u_{0} \leqslant 1.
- Calculer u_{1}.
- Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 \leqslant u_{n}.
- Étudier les variations de la suite \left(u_{n}\right).
- En déduire que la suite \left(u_{n}\right) est convergente.
- Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}.
- En déduire la limite de la suite \left(u_{n}\right).
Corrigé
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Si, pour tout x de \left[a; b\right], f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) alors g-f est positive ou nulle sur \left[a; b\right].
Il suffit alors d'appliquer successivement les deux prérequis de l'énoncé.
Partie B
- Si 0\leqslant x\leqslant 1 alors :
0\leqslant x^{2}\leqslant 1 (justifiez...)
-1\leqslant -x^{2}\leqslant 0 (justifiez...)
\frac{1}{e} \leqslant e^{-x^{2}} \leqslant 1. (justifiez...) - u_{0}=\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx.
On applique le théorème montré au A à l'encadrement de la question précédente :
\int_{0}^{1}\frac{1}{e}dx \leqslant \int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx \leqslant \int_{0}^{11}dx
d'où
\frac{1}{e} \leqslant u_{0} \leqslant 1.
- Si 0\leqslant x\leqslant 1 alors :
- u_{1}=\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}dx
xe^{-x^{2}}=-\frac{1}{2}\times \left(-2xe^{-x^{2}}\right)
et x\mapsto -2xe^{-x^{2}} est la dérivée de x\mapsto e^{-x^{2}} donc
u_{1}=\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right) - On utilise la positivité de l'intégrale et le fait que x^{n}e^{-x^{2}}\geqslant 0 sur \left[0; 1\right]
- u_{n+1}-u_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\left(x-1\right)e^{-x^{2}}dx
sur \left[0; 1\right], x-1 est négatif donc x^{n}\left(x-1\right)e^{-x^{2}} l'est aussi.
On en déduit que la suite \left(u_{n}\right) est décroissante. - La suite \left(u_{n}\right) est décroissante et minorée par 0 donc convergente.
- D'après 1.a. e^{-x^{2}}\leqslant 1 sur \left[0; 1\right] donc:
\int_{0}^{1}x^{n}e^{-x^{2}}dx \leqslant \int_{0}^{1}x^{n}dx=\frac{1}{n+1} - 0\leqslant u_{n}\leqslant \frac{1}{n+1}
Donc, d'après le théorème des gendarmes :
\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0
- D'après 1.a. e^{-x^{2}}\leqslant 1 sur \left[0; 1\right] donc:
ﾠ