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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Graphes probabilistes - Bac blanc ES Sujet 6 - Maths-cours 2018 (spé)

Exercice 5 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour le paiement des cotisations, une société d'assurance propose à ces clients le choix entre deux types de règlement :

En 2016, 50% des clients avaient opté pour le prélèvement mensuel.

Chaque année :

Pour tout entier naturel nn, on note :

On choisit au hasard un client de cet assureur.

On note :

Partie A

  1. Traduire la situation par un graphe probabiliste.

  2. Déterminer la matrice de transition TT associée à ce graphe, les sommets étant classés dans l'ordre M,AM, A.

  3. Déterminer les matrices-ligne P0,P1P_0, P_1 et P2P_2 (Si nécessaire, on arrondira les résultats au millième).
    Quel est le pourcentage de clients ayant choisi le prélèvement mensuel en 2018 ?

  4. Déterminer l'état stable de ce graphe.
    Interpréter ce résultat.

Partie B

  1. Montrer que pour tout entier naturel nn :

    mn+1=0,65mn+0,25. m_{n+1}=0,65m_n + 0,25.

  2. Le directeur d'agence souhaite connaître la proportion des clients qui optera pour le prélèvement mensuel pour l'année 2016+n où nn est un entier naturel non nul.

    On lui a proposé les trois algorithmes suivants :

    algorithme n°1

    Algorithme 1

    algorithme n°2

    Algorithme 2

    algorithme n°3

    Algorithme 3

    Parmi ces trois algorithmes, un seul répond correctement à la demande du directeur. Lequel ?
    Justifier votre réponse en indiquant les erreurs présentes dans les deux autres algorithmes.

  3. Pour tout entier naturel nn, on pose un=mn57u_n=m_n - \dfrac{5}{7}.

    1. Montrer que la suite (un)(u_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. En déduire que pour tout entier naturel nn :

      mn=57314×0,65n. m_n=\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n.

  4. Quelle est la limite de la suite (mn)(m_n) ?
    Interpréter et comparer ce résultat à celui de la question 4. de la Partie A.

Corrigé

Partie A

  1. On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets MM et AA:

    Graphe probabiliste à deux états

  2. La matrice de transition de ce graphe en plaçant les sommets dans l'ordre MM, AA est :

    T=(0,90,10,250,75). T= \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix}.

  3. D'après l'énoncé, en 2016, 50% des clients avaient opté pour le prélèvement mensuel donc m0=0,5m_0=0,5 et p0=1m0=0,5p_0=1 - m_0=0,5.

    Par conséquent P0=(0,50,5)P_0=(0,5 \quad 0,5).

    On en déduit :

    P1=P0×T=(0,50,5)×(0,90,10,250,75)=(0,5750,425)P_1 = P_0 \times T = (0,5 \quad 0,5) \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix} = (0,575 \quad 0,425) ;

    P2=P1×T=(0,5750,425)×(0,90,10,250,75)=(0,6240,376)P_2 = P_1 \times T = (0,575 \quad 0,425) \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix} = (0,624 \quad 0,376)
    (arrondi au millième).

  4. Une matrice P=(ab)P = (a\quad b) est un état stable si et seulement si a+b=1{a + b = 1} et PT=PPT = P.

    PT=P(ab)×(0,90,10,250,75)=(ab)PT=P \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\0,25 & 0,75 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}

    PT=P(0,9a+0,25b0,1a+0,75b)=(ab)\phantom{PT=P} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0,9a+0,25b & 0,1a+0,75b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}

    PT=P{0,9a+0,25b=a0,1a+0,75b=b\phantom{PT=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,9a+0,25b &=& a\\ 0,1a+0,75b &=& b \end{array} \right.

    PM=P{0,1a+0,25b=00,1a0,25b=0\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} - 0,1a+0,25b &=& 0\\ 0,1a - 0,25b &=& 0 \end{array} \right.

    PM=P0,1a0,25b=0\phantom{PM=P} \Leftrightarrow 0,1a - 0,25b = 0

    Comme a+b=1a+b=1 : b=1ab=1 - a. Par conséquent :

    0,1a0,25(1a)=00,1a - 0,25(1 - a) = 0

    0,35a0,25=00,35a - 0,25 = 0

    a=0,250.35=57a = \dfrac{0,25}{0.35}=\dfrac{5}{7}

    et b=1a=157=27b=1 - a=1 - \dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}.

    On peut donc en déduire que

    P=(5727) P=\begin{pmatrix} \dfrac{5}{7} & \dfrac{2}{7} \end{pmatrix}

    est l'état stable du graphe.

    Au cours du temps, la proportion des clients qui opteront pour le prélèvement mensuel se rapprochera de cinq septièmes.

Partie B

  1. Pour tout entier naturel nn :

    Par conséquent P0=(0,50,5)P_0=(0,5 \quad 0,5).

    TT étant la matrice de transition du graphe, pour tout entier naturel nn :

    Pn+1=Pn×TP_{n+1} = P_n \times T.

    Donc :

    (mn+1an+1)=(mnan)×(0,90,10,250,75)=(0,5750,425)(m_{n+1} \quad a_{n+1}) = (m_n \quad a_n) \times \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1\\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix} = (0,575 \quad 0,425)

    (mn+1an+1)=(0,9mn+0,25an0,1mn+0,75an)\phantom{(m_{n+1} \quad a_{n+1})} = \begin{pmatrix} 0,9m_n+0,25a_n & 0,1m_n+0,75a_n\end{pmatrix} .

    En comparant les termes situés en première colonne, on obtient :

    mn+1=0,9mn+0,25anm_{n+1} = 0,9m_n+0,25a_n.

    Or, pour tout entier naturel nn, mnm_n et ana_n sont les probabilités de deux événements contraires donc an=1mn{a_n=1 - m_n}.

    Par conséquent :

    mn+1=0,9mn+0,25(1mn)m_{n+1} = 0,9m_n+0,25(1 - m_n)
    mn+1=0,9mn+0,250,25mn\phantom{m_{n+1} } = 0,9m_n+0,25 - 0,25m_n
    mn+1=0,65mn+0,25.\phantom{m_{n+1} } = 0,65m_n+0,25.

  2. L'algorithme correct est l'algorithme 2.

    L'algorithme 1 est incorrect car il manque l'instruction « Affecter à ii la valeur i+1i+1 » (incrémentation de ii) à l'intérieur de la boucle « Tant que ».

    L'algorithme 3 est incorrect car il affiche, en sortie, la valeur de nn (qui correspond au nombre saisi par l'utilisateur) et non le résultat souhaité qui est stocké dans la variable mm.

    1. Pour tout entier naturel nn, un=mn57u_{n}= m_{n} - \dfrac{5}{7}, donc :

      un+1=mn+157u_{n+1}= m_{n+1} - \dfrac{5}{7}.

      Or, pour tout entier naturel nn, mn+1=0,65mn+0,25m_{n+1}=0,65m_n+0,25 ; par conséquent :

      un+1=0,65mn+0,2557u_{n+1}= 0,65m_n+0,25 - \dfrac{5}{7}
      un+1=0,65mn+1457\phantom{u_{n+1}}=0,65m_n+\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{7}
      un+1=0,65mn+141328.\phantom{u_{n+1}}=0,65m_n+\dfrac{1}{4} - \dfrac{13}{28}.

      Or, puisque un=mn57u_{n}= m_{n} - \dfrac{5}{7} : mn=un+57m_{n}= u_{n}+\dfrac{5}{7}.

      On en déduit :

      un+1=0,65(un+57)1328u_{n+1}= 0,65\left(u_{n}+\dfrac{5}{7}\right) - \dfrac{13}{28}
      un+1=0,65un+3,2571328\phantom{u_{n+1}}= 0,65u_{n}+\dfrac{3,25}{7} - \dfrac{13}{28}
      un+1=0,65un+13281328\phantom{u_{n+1}}= 0,65u_{n}+\dfrac{13}{28} - \dfrac{13}{28}
      un+1=0,65un.\phantom{u_{n+1}}= 0,65u_{n}.

      Comme u0=m057=1257=314u_{0}= m_{0} - \dfrac{5}{7}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{7}= - \dfrac{3}{14}, la suite (un)(u_n) est une suite géométrique de premier terme u0=314{u_0= - \dfrac{3}{14}} et de raison 0,650,65.

    2. La suite (un)(u_n) étant une suite géométrique de premier terme u0=314{u_0= - \dfrac{3}{14}} et de raison 0,650,65, pour tout entier naturel nn :

      un=u0qn=314×0,65nu_n=u_0q^n= - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n.

      Par conséquent :

      mn=un+57=57314×0,65nm_{n}= u_n + \dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n.

  3. 00,65<1 {0 \leqslant 0,65 < 1}\ donc  limn+0,65n=0\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,65^n = 0.

    On en déduit que :

    limn+314×0,65n=0 \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{14} \times 0,65^n = 0\ et  limn+57314×0,65n=57\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{14} \times 0,65^n = \dfrac{5}{7}.

    La suite (mn)(m_n) converge donc vers 57\dfrac{5}{7}.

    On retrouve le résultat de la partie A, à savoir que la proportion de clients choisissant le prélèvement mensuel tendra vers 57\dfrac{5}{7}.