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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Géométrie dans l'espace - Bac S Polynésie 2014

Exercice 1  (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points

A(5;5;2),B(1;1;0),C(0;1;2)A \left(5 ; - 5 ; 2\right), B \left( - 1 ; 1 ; 0\right), C \left(0 ; 1 ; 2\right) et D(6;6;1). D \left(6 ; 6 ; - 1\right).

  1. Déterminer la nature du triangle BCDBCD et calculer son aire.

    1. Montrer que le vecteur n(231)\vec{n} \begin{pmatrix} - 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (BCD)\left(BCD\right).

    2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD)\left(BCD\right)

  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D\mathscr D orthogonale au plan (BCD)\left(BCD\right) et passant par le point AA.

  3. Déterminer les coordonnées du point HH, intersection de la droite D\mathscr D et du plan (BCD)\left(BCD\right).

  4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCDABCD.
    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule V=13B×hV=\frac{1}{3} \mathscr B\times h, où B\mathscr B est l'aire d'une base du tétraèdre et hh la hauteur correspondante.

  5. On admet que AB=76AB=\sqrt{76} et AC=61AC= \sqrt{61}.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle BAC^\widehat{BAC}