Exercice 2   (6 points)

Commun à tous les candidats On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0 ; +\infty \right[$ par :

$f\left(x\right) = 5e^{ - x} - 3e^{ - 2x}+x - 3$.

On note $\mathscr C_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathscr D$ la droite d'équation $y = x - 3$ dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Positions relatives de $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr D$

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$ par $g\left(x\right) = f\left(x\right) - \left(x - 3\right)$.

1. Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$, $g \left(x\right) > 0$.

2. La courbe $\mathscr C_{f}$ et la droite $\mathscr D$ ont-elles un point commun ? Justifier.

Partie B : Étude de la fonction $g$

On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathscr C_{f}$ , $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathscr D$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

1. Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$, la distance $MN$ est égale à $g\left(x\right)$.

2. On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$.

   Pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$, calculer $g^{\prime}\left(x\right)$.

3. Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$ que l'on déterminera.

   En donner une interprétation graphique.

Partie C : Étude d'une aire

On considère la fonction $\mathscr A$ définie sur l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$ par

$\mathscr A\left(x\right) = \int_{0}^{x} \left[f\left(t\right) - \left(t - 3\right)\right]dt$.

1. Hachurer, sur le graphique ci-dessous, le domaine dont l'aire est donnée par $\mathscr A\left(2\right)$.

   

2. Justifier que la fonction $\mathscr A$ est croissante sur l'intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$.

3. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathscr A\left(x\right)$.

4. Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathscr A\left(x\right)=2$