Fonctions - Bac ES/L Centres étrangers 2018

Exercice 5 (6 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction dérivable f définie sur I = [0~;~20] par :

Partie A - Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation f(x) = 3~000.

2. Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de [ entre 2 et 8 à une unité d'aire près. Justifier la démarche.

Partie B - Étude théorique

1. On note f ^\prime la dérivée de la fonction [sur [0 ; 20].

   Démontrer que pour tout x de [0 ; 20], f ^\prime (x) = -200x\text{e}^{-0,2x}.

2. En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau des variations sur l'intervalle [0 ; 20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.

3. Démontrer que l'équation f(x) = 3~000 admet une unique solution \alpha sur [0 ; 20], puis donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près à l'aide de la calculatrice.

4. On admet que la fonction F définie sur l'intervalle [0 ; 20] par l'expression

   F(x) = -5~000(x + 10)\text{e}^{-0,2x} est une primitive de la fonction f sur [0 ; 20].

   Calculer \displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.

Partie C - Application économique

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0 ; 20] par la fonction f étudiée dans les parties A et B.

Le nombre f(x) représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à 3 000 objets ?

2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [2 ; 8]. Interpréter ce résultat.