Exercice non corrigéExercice 5 (6 points)
Commun à tous les candidats
On considère la fonction dérivable f définie sur I = [0~;~20] par :
Partie A - Étude graphique
On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation f(x) = 3~000.
Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de [ entre 2 et 8 à une unité d'aire près. Justifier la démarche.
Partie B - Étude théorique
On note f ^\prime la dérivée de la fonction [sur [0 ; 20].
Démontrer que pour tout x de [0 ; 20], f ^\prime (x) = -200x\text{e}^{-0,2x}.
En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau des variations sur l'intervalle [0 ; 20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.
Démontrer que l'équation f(x) = 3~000 admet une unique solution \alpha sur [0 ; 20], puis donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près à l'aide de la calculatrice.
On admet que la fonction F définie sur l'intervalle [0 ; 20] par l'expression
F(x) = -5~000(x + 10)\text{e}^{-0,2x} est une primitive de la fonction f sur [0 ; 20].
Calculer \displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.
Partie C - Application économique
La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0 ; 20] par la fonction f étudiée dans les parties A et B.
Le nombre f(x) représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à x euros.
Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :
En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à 3 000 objets ?
Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [2 ; 8]. Interpréter ce résultat.
