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[Bac] Etude d'une fonction trigonométrique

\alpha (d'après Bac S Nouvelle Calédonie 2005 - Sujet modifié pour être conforme au programme actuel)

Un lapin désire traverser une route de 44 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 6060 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 77 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire à ... 3030 km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment [CC′]\left[CC^{\prime}\right] sur le schéma ci-dessous.

Bac S Nouvelle Calédonie 2005


Le lapin part du point AA en direction de DD.

Cette direction est repérée par l'angle θ=BAD^\theta =\widehat{BAD} avec 0⩽θ<π20 \leqslant \theta < \frac{\pi }{2}(en radians).

  1. Déterminer les distances ADAD et CDCD en fonction de θ\theta et les temps t1t_{1} et t2t_{2} mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances ADAD et CDCD.

  2. On pose f(θ)=72+2sinθ−4cosθf\left(\theta \right)=\frac{7}{2}+\frac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta }.

    Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ)>0f\left(\theta \right) > 0.

  3. Etudier la fonction ff sur l'intervalle [0;π2[\left[0 ; \frac{\pi }{2}\right[.

    Conclure.

Corrigé

  1. Le triangle ABCABC étant rectangle en BB :

    cosθ=ABAD\cos \theta =\frac{AB}{AD} donc AD=ABcosθ=4cosθAD=\frac{AB}{\cos \theta }=\frac{4}{\cos \theta }

    sinθ=BDAD\sin \theta =\frac{BD}{AD} donc BD=ADsinθ=4sinθcosθBD=AD \sin \theta = \frac{4 \sin \theta }{\cos \theta }

    CD=CB+BD=7+4sinθcosθCD=CB+BD=7+\frac{4 \sin \theta }{\cos \theta }

    6060km/h=10001 000m/minute et 3030km/h=500500m/minute

    Le temps, en minutes, mis par le lapin pour parcourir ADAD est donc :

    t1=1500(4cosθ)t_{1}=\frac{1}{500}\left(\frac{4}{\cos \theta }\right)

    Le temps, en minutes, mis par le camion pour parcourir CDCD :

    t2=11000(7+4sinθcosθ)t_{2}= \frac{1}{1000}\left(7+\frac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right)

  2. Le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si t2>t1t_{2} > t_{1}, c'est à dire t2−t1>0t_{2} - t_{1} > 0. Or :

    t2−t1=11000(7+4sinθcosθ)−1500(4cosθ)t_{2} - t_{1}=\frac{1}{1000}\left(7+\frac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) - \frac{1}{500}\left(\frac{4}{\cos \theta }\right)

    t2−t1=1500(12(7+4sinθcosθ)−4cosθ)t_{2} - t_{1}=\frac{1}{500}\left(\frac{1}{2}\left(7+\frac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) - \frac{4}{\cos \theta }\right)

    t2−t1=1500(72+2sinθcosθ−4cosθ)t_{2} - t_{1}=\frac{1}{500}\left(\frac{7}{2}+\frac{2 \sin \theta }{\cos \theta } - \frac{4}{\cos \theta }\right)

    t2−t1=1500f(θ)t_{2} - t_{1}=\frac{1}{500}f\left(\theta \right)

    Donc le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ)>0f\left(\theta \right) > 0.

  3. On pose u(θ)=2sinθ−4u\left(\theta \right)=2\sin \theta - 4 et v(θ)=cos(θ)v\left(\theta \right)=\cos\left(\theta \right)

    f′(θ)=u′(θ)v(θ)−u(θ)v′(θ)v(θ)2=2cos2θ−(2sinθ−4)×−sinθcos2θf^{\prime}\left(\theta \right)=\frac{u^{\prime}\left(\theta \right)v\left(\theta \right) - u\left(\theta \right)v^{\prime}\left(\theta \right)}{v\left(\theta \right)^{2}}=\frac{2\cos^{2}\theta - \left(2\sin \theta - 4\right)\times - \sin \theta }{\cos^{2}\theta }

    f′(θ)=2(cos2θ+sin2θ)−4sinθcos2θ=2−4sinθcos2θ=2(1−2sinθ)cos2θf^{\prime}\left(\theta \right)=\frac{2\left(\cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta \right) - 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\frac{2 - 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\frac{2\left(1 - 2\sin \theta \right)}{\cos^{2}\theta }

    f′(θ)>0⇔1−2sinθ>0⇔−2sinθ>−1⇔sinθ<12⇔sinθ<sinπ6f^{\prime}\left(\theta \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \theta > 0 \Leftrightarrow - 2\sin \theta > - 1 \Leftrightarrow \sin \theta < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \theta < \sin \frac{\pi }{6}

    Or la fonction sinus étant strictement croissante sur l'intervalle [0;π2[\left[0 ; \frac{\pi }{2}\right[, sinθ<sinπ6⇔θ<π6\sin \theta < \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \theta < \frac{\pi }{6}

    f(0)=72−4=−12f\left(0\right)=\frac{7}{2} - 4= - \frac{1}{2}

    Lorsque θ\theta tend vers π2\frac{\pi }{2} en restant inférieur à π2\frac{\pi }{2}, cosθ\cos \theta tend vers zéro en restant positif et 2sinθ−42 \sin \theta - 4 est négatif donc, par quotient :

    limθ→π2−2sinθ−4cosθ=−∞\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^ - }\frac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta }= - \infty

    et par somme :

    limθ→π2−f(x)=−∞\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^ - }f\left(x\right)= - \infty

    On en déduit le tableau de variation de la fonction ff :

    Exercice

    et sa courbe représentative :

    Fonction

    A la calculatrice on trouve : f(π6)≈0.04>0f\left(\frac{\pi }{6}\right)\approx 0.04 > 0

    Le lapin peut donc être sauvé si l'angle θ\theta est proche de π6\frac{\pi }{6}

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