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Fonctions : limites - continuité Exercices

[Bac] Étude de fonctions et équations

Durée estimée
25 minutes
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Objectif travaillé

Extrait d'un exercice du Bac ES/L Liban 2013.

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[5;60]$ par :

$C(x) = \dfrac{e^{0{,}1x} + 20}{x}$

  1. On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C$.

    Montrer que, pour tout $x \in [5;60]$ :

    $C'(x) = \dfrac{0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20}{x^2}$

  2. On considère la fonction $f$ définie sur $[5;60]$ par

    $f(x) = 0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20$
    1. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[5;60]$.
    2. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[5;60]$.
    3. Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$.
    4. En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur $[5;60]$.
  3. En déduire le tableau de variations de $C$ sur $[5;60]$.

  4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

    1. $C(x) = 2$
    2. $C(x) = 5$

Corrigé

  1. La fonction $C$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = e^{0{,}1x} + 20$ et $v(x) = x$.

    On a alors $u'(x) = 0{,}1 \, e^{0{,}1x}$ et $v'(x) = 1$.

    La dérivée $C'$ est donnée par :
    $C'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{0{,}1 \, e^{0{,}1x} \times x - (e^{0{,}1x} + 20) \times 1}{x^2}$

    On obtient bien :

    $C'(x) = \dfrac{0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20}{x^2}$

    La fonction est définie pour $x \neq 0$, donc en particulier sur l'intervalle $[5;60]$.

  2. On considère la fonction $f$ définie sur $[5;60]$ par $f(x) = 0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20$.

    1. La dérivée de $f$ est, en utilisant la formule de dérivation d'un produit pour $0{,}1xe^{0{,}1x}$ :
      $f'(x) = 0{,}1 \, e^{0{,}1x} + 0{,}1x \times 0{,}1 \, e^{0{,}1x} - 0{,}1 \, e^{0{,}1x} = 0{,}01 \, xe^{0{,}1x}$.

      Pour tout $x \in [5;60]$, $0{,}01x > 0$ et $e^{0{,}1x} > 0$, donc $f'(x) > 0$.

      La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[5;60]$.

    2. Sur l'intervalle $[5;60]$ :

      • $f$ est continue (car dérivable).
      • $f$ est strictement croissante.
      • $f(5) = 0{,}5 \, e^{0{,}5} - e^{0{,}5} - 20 \approx -20{,}82 < 0$.
      • $f(60) = 6 \, e^{6} - e^{6} - 20 \approx 1997{,}1 > 0$.

      D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[5;60]$.

    3. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, on trouve $f(25) \approx -1{,}73 < 0$ et $f(26) \approx 1{,}54 > 0$.

      On en déduit l'encadrement à l'unité : $\mathbf{25 < \alpha < 26}$.

    4. Comme $f$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$, on obtient le tableau de signes suivant :

      Tableau de signes de f sur [5;60]

  3. On remarque que $C'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$. Comme $x^2 > 0$, $C'(x)$ est du même signe que $f(x)$.

    Le tableau de variations de $C$ est donc :

    Tableau de variations de C sur [5;60]

    Note : $C(5) \approx 4{,}33$, $C(\alpha) \approx 1{,}29$, $C(60) \approx 7{,}06$ (valeurs calculées avec un tableur).

  4. D'après le tableau de variations :

    1. L'équation $C(x) = 2$ possède deux solutions : une sur l'intervalle $]5;\alpha[$ car $2 \in \,]1{,}29\,;4{,}33[$, et une sur l'intervalle $]\alpha;60[$ car $2 \in \,]1{,}29\,;7{,}06[$.
    2. L'équation $C(x) = 5$ possède une unique solution sur l'intervalle $]\alpha;60[$ car $5 \in \,]1{,}29\,;7{,}06[$, mais aucune sur $]5;\alpha[$ car $5 > 4{,}33$.