On rappelle que les fonctions d'offre et de demande indiquent respectivement la quantité d'un produit que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter pour un prix donné.

Un disquaire vend sur internet des CD musicaux dont le prix unitaire varie entre 10 et 30 euros.

Une étude de marché a permis de modéliser les fonctions d'offre $f$ et de demande $g$ d'un de ces CD à l'aide des formules :

$f(x)=22,32x+268$
et
$g(x)= - 0.048x^3+4x^2 - 120x+1760$

où $x$ désigne le prix d'un CD en euros.

1. Donner le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[10 ; 30]$. Quelle interprétation économique de ce résultat peut-on faire ?

2. Indiquer pourquoi la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[10 ; 30]$ et calculer sa dérivée.

   En déduire le sens de variation de $g$ sur cet intervalle. Interpréter économiquement ce résultat.

3. On appelle "prix d'équilibre", le prix $x_0$ pour lequel l'offre et la demande sont égales.

   1. On pose $h(x)=f(x) - g(x)$. Montrer que le prix d'équilibre $x_0$ est solution de l'équation $h(x)=0$ sur l'intervalle $[10 ; 30]$.

   2. Étudier les variations de la fonction $h$.

      En déduire que, pour le problème posé, il existe un et un seul point d'équilibre.

   3. À l'aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée à $10^{ - 2}$ près de $x_0$.

      Quelles sont alors les valeurs de l'offre et de la demande ?