Extrait d'un exercice du Bac ES/L Liban 2013.

Le sujet complet est disponible ici : Bac ES/L Liban 2013

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $\left[5 ; 60\right]$ par :

1. On désigne par $C^{\prime}$ la dérivée de la fonction $C$.

   Montrer que, pour tout $x\in \left[5 ; 60\right]$:

   $C^{\prime}\left(x\right)=\frac{0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20}{x^{2}}$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\left[5 ; 60\right]$ par

   $f\left(x\right)=0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20.$

   1. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[5 ; 60\right]$.

   2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $\left[5 ; 60\right]$.

   3. Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$.

   4. En déduire le tableau de signes de $f\left(x\right)$ sur $\left[5 ; 60\right]$.

3. En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\left[5 ; 60\right]$.

4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

   1. $C\left(x\right)=2$

   2. $C\left(x\right)=5$