Exercice 2
8 points - Commun à tous candidats
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par
f\left(x\right) = \ln \left(1 +e^{-x}\right) + \frac{1}{3}x
La courbe \left(C\right) représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Partie A
-
- Déterminer la limite de la fonction f en +\infty .
- Montrer que la droite \left(D\right) d'équation y = \frac{1}{3}x est asymptote à la courbe \left(C\right). Tracer \left(D\right).
- Étudier la position relative de \left(D\right) et de \left(C\right).
- Montrer que pour tout réel x, f\left(x\right) = \ln \left(e^{x} + 1\right) -\frac{2}{3}x.
- En déduire la limite de f en -\infty .
-
- On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que pour tout x réel, f^{\prime}\left(x\right) = \frac{e^{x}-2}{3\left(e^{x} + 1\right)}. - En déduire les variations de la fonction f.
- On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle d_{n}, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe \left(C\right), la droite \left(D\right) d'équation y =\frac{1}{3}x et les droites d'équations x = 0 et x = n.
- Justifier que pour tout entier naturel n non nul, d_{n} = \int_{0}^{n} \ln \left(1 + e^{-x} \right)dx.
- On admet que pour tout réel x, \ln \left(1 + e^{-x} \right) \leqslant e^{-x}.
Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, d_{n} \leqslant 1.
La suite \left(d_{n}\right)_{n\geqslant 1} est-elle convergente?
Partie C
Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe \left(C\right).
On note \left(T\right) la tangente à la courbe \left(C\right) au point d'abscisse 0.
- Calculer le coefficient directeur de \left(T\right) puis construire \left(T\right) sur le graphique.
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient M et N deux points de la courbe \left(C\right) d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite \left(MN\right) est parallèle à la droite \left(T\right).