Exercice 2

8 points - Commun à tous candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

La courbe $\left(C\right)$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe.

Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie A

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

   2. Montrer que la droite $\left(D\right)$ d'équation $y = \frac{1}{3}x$ est asymptote à la courbe $\left(C\right)$. Tracer $\left(D\right)$.

   3. Étudier la position relative de $\left(D\right)$ et de $\left(C\right)$.

   4. Montrer que pour tout réel $x, f\left(x\right) = \ln \left(e^{x} + 1\right) - \frac{2}{3}x$.

   5. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.

2. 1. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

      Montrer que pour tout $x$ réel, $f^{\prime}\left(x\right) = \frac{e^{x} - 2}{3\left(e^{x} + 1\right)}$.

   2. En déduire les variations de la fonction $f$.

Partie B

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $d_{n}$, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $\left(C\right)$, la droite $\left(D\right)$ d'équation $y =\frac{1}{3}x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $d_{n} = \int_{0}^{n} \ln \left(1 + e^{ - x} \right)dx$.

2. On admet que pour tout réel $x$, $\ln \left(1 + e^{ - x} \right) \leqslant e^{ - x}$.

   Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $d_{n} \leqslant 1$.

   La suite $\left(d_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ est-elle convergente?

Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $\left(C\right)$.

On note $\left(T\right)$ la tangente à la courbe $\left(C\right)$ au point d'abscisse 0.

1. Calculer le coefficient directeur de $\left(T\right)$ puis construire $\left(T\right)$ sur le graphique.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soient $M$ et $N$ deux points de la courbe $\left(C\right)$ d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite $\left(MN\right)$ est parallèle à la droite $\left(T\right)$.