Etude d'une fonction - Bac S Liban 2009

Exercice 2

8 points - Commun à tous candidats

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par
f\left(x\right) = \ln \left(1 +e^{-x}\right) + \frac{1}{3}x
La courbe \left(C\right) représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie A

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty .
   2. Montrer que la droite \left(D\right) d'équation y = \frac{1}{3}x est asymptote à la courbe \left(C\right). Tracer \left(D\right).
   3. Étudier la position relative de \left(D\right) et de \left(C\right).
   4. Montrer que pour tout réel x, f\left(x\right) = \ln \left(e^{x} + 1\right) -\frac{2}{3}x.
   5. En déduire la limite de f en -\infty .
2. 1. On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
      Montrer que pour tout x réel, f^{\prime}\left(x\right) = \frac{e^{x}-2}{3\left(e^{x} + 1\right)}.
   2. En déduire les variations de la fonction f.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul. On appelle d_{n}, l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe \left(C\right), la droite \left(D\right) d'équation y =\frac{1}{3}x et les droites d'équations x = 0 et x = n.

1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, d_{n} = \int_{0}^{n} \ln \left(1 + e^{-x} \right)dx.
2. On admet que pour tout réel x, \ln \left(1 + e^{-x} \right) \leqslant e^{-x}.
   Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, d_{n} \leqslant 1.
   La suite \left(d_{n}\right)_{n\geqslant 1} est-elle convergente?

Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe \left(C\right).
On note \left(T\right) la tangente à la courbe \left(C\right) au point d'abscisse 0.

1. Calculer le coefficient directeur de \left(T\right) puis construire \left(T\right) sur le graphique.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Soient M et N deux points de la courbe \left(C\right) d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite \left(MN\right) est parallèle à la droite \left(T\right).