Exercice 1

5 points - Commun à tous candidats

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.

Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours

Au début de l'épidémie on constate que 0,01% de la population est contaminé.

Pour $t$ appartenant à [0; 30], on note $y\left(t\right)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.

On a donc $y\left(0\right)= 0,01$.

On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :

1. On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0; 30] par $z=\frac{1}{y}$.

   Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions
   $\left\{ \begin{matrix} y\left(0\right)=0,01 \\ y^{\prime}=0,05y\left(10 - y\right)\end{matrix}\right.$

   si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions

   $\left\{ \begin{matrix} z\left(0\right)=100 \\ z^{\prime}= - 0,5z+0,05\end{matrix}\right.$

2. 1. En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$.

   2. Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.

Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10% des individus sont malades.

On choisit au hasard un individu dans cette population.

1. Montrer que la probabilité de l'évènement « l'individu n'est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08.

2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ?