Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première ES/L
  • Première S
  • Terminale ES/L
  • Terminale S
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ES/L
  • 1S
  • TES/L
  • TS

Terminale S

difficulté moyenneExercice corrigé

Durée de vie d’un ordinateur – Bac S Amérique du Nord 2011

Exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis.
On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda avec \lambda > 0.
Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée p\left(X \leqslant t\right), est donnée par : p\left(X \leqslant t\right) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{-\lambda x}\text{d}x.

  1. Déterminer \lambda sachant que p\left(X > 5\right) = 0,4.
  2. Dans cette question, on prendra \lambda = 0,18.
    Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10^{-3} près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?
  3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p\left(X > 5\right) = 0,4.
    1. On considère un lot de 10 ordinateurs.
      Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.
    2. Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l’évènement  » l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans  » soit supérieure à 0,999 ?

Corrigé

Partie A

Les ordinateurs étant choisis au hasard, les différents choix sont équiprobables. Le nombre de choix possibles est \begin{pmatrix} 25 \\ 2 \end{pmatrix}=300.
Le nombre de choix comprenant deux ordinateurs défectueux est \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=3.
La probabilité recherchée est donc :
p=\frac{3}{300}=0,01.

Partie B

  1. Pour une loi exponentielle de paramètre \lambda :
    p\left(X \leqslant t\right) = \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda t}
    et :
    p\left(X > t\right)=1-p\left(X \leqslant t\right)=e^{-\lambda t}
    On a donc ici :
    p\left(X > 5\right)=e^{-5\lambda }
    Cette probabilité est égale à 0,4 si et seulement si :
    e^{-5\lambda }=0,4
    -5\lambda =\ln0,4
    \lambda =-\frac{\ln0,4}{5}
    \lambda \approx 0,18
  2. La probabilité demandée est :
    p_{X > 3}\left(X > 5\right)=\frac{p\left(\left(X > 3\right) \cap \left(X > 5\right)\right)}{p\left(X > 3\right)}=\frac{p\left(X > 5\right)}{p\left(X > 3\right)}=\frac{e^{-5\lambda }}{e^{-3\lambda }}=e^{-2\lambda }\approx 0,698
    1. On a affaire à une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,4.
      La probabilité qu’aucun ordinateur n’ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc 0,6^{10}.
      La probabilité qu’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc :
      1-0,6^{10}\approx 0,994.
    2. Soit n le nombre d’ordinateurs cherché. On doit résoudre l’inéquation :
      1-0,6^{n}\geqslant 0,999
      -0,6^{n}\geqslant -0,001
      0,6^{n}\leqslant 0,001
      La fonction \ln étant strictement croissante :
      \ln0,6^{n}\leqslant \ln0,001
      n\ln0,6\leqslant \ln0,001
      Comme \ln0,6 est strictement négatif :
      n\geqslant \frac{\ln0,001}{\ln0,6}
      Or \frac{\ln0,001}{\ln0,6}\approx 13,5. Donc le nombre d’ordinateurs cherché est 14.
  Signaler une erreur

Bac S Amérique du Nord 2011

  • Exercice 1 : Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2011
  • Exercice 2 : Durée de vie d'un ordinateur - Bac S Amérique du Nord 2011
  • Exercice 3 : Géométrie dans l'espace Barycentres - Bac S Amérique du Nord 2011
  • Exercice 3 : Arithmétique : Suite d'entiers - Bac S Amérique du Nord 2011
  • Exercice 4 : Fonctions et suites - Bac S Amérique du Nord 2011

Dans ce chapitre...

Cours

  • Variables aléatoires continues

Exercices

  • difficulté moyenne [Bac] Probabilités : Loi exponentielle
  • difficulté moyenne Deux lois exponentielles
  • difficulté moyenne Loi exponentielle – Bac S Métropole 2008
  • difficulté moyenne [ROC] Espérance mathématique d’une loi exponentielle
  • difficulté moyenne Probabilites : Loi uniforme

VOIR AUSSI…

Derniers quiz

  1. [1esl]Pourcentages (moyen)
  2. [Ts]Limites de fonctions (moyen)
  3. [1s]Second degré (facile)
  4. [2nde]Les fonctions (facile)
  5. [Ts]Les suites (facile)

© 2019 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok