Exercice corrigéExercice 2
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis.
On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?
Partie B
La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda avec \lambda > 0.
Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée p\left(X \leqslant t\right), est donnée par : p\left(X \leqslant t\right) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{-\lambda x}\text{d}x.
- Déterminer \lambda sachant que p\left(X > 5\right) = 0,4.
- Dans cette question, on prendra \lambda = 0,18.
Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10^{-3} près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? - Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p\left(X > 5\right) = 0,4.
- On considère un lot de 10 ordinateurs.
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. - Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l’évènement » l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?
- On considère un lot de 10 ordinateurs.
Corrigé
Partie A
Les ordinateurs étant choisis au hasard, les différents choix sont équiprobables. Le nombre de choix possibles est \begin{pmatrix} 25 \\ 2 \end{pmatrix}=300.
Le nombre de choix comprenant deux ordinateurs défectueux est \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=3.
La probabilité recherchée est donc :
p=\frac{3}{300}=0,01.
Partie B
- Pour une loi exponentielle de paramètre \lambda :
p\left(X \leqslant t\right) = \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda t}
et :
p\left(X > t\right)=1-p\left(X \leqslant t\right)=e^{-\lambda t}
On a donc ici :
p\left(X > 5\right)=e^{-5\lambda }
Cette probabilité est égale à 0,4 si et seulement si :
e^{-5\lambda }=0,4
-5\lambda =\ln0,4
\lambda =-\frac{\ln0,4}{5}
\lambda \approx 0,18 - La probabilité demandée est :
p_{X > 3}\left(X > 5\right)=\frac{p\left(\left(X > 3\right) \cap \left(X > 5\right)\right)}{p\left(X > 3\right)}=\frac{p\left(X > 5\right)}{p\left(X > 3\right)}=\frac{e^{-5\lambda }}{e^{-3\lambda }}=e^{-2\lambda }\approx 0,698 - On a affaire à une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,4.
La probabilité qu’aucun ordinateur n’ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc 0,6^{10}.
La probabilité qu’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc :
1-0,6^{10}\approx 0,994. - Soit n le nombre d’ordinateurs cherché. On doit résoudre l’inéquation :
1-0,6^{n}\geqslant 0,999
-0,6^{n}\geqslant -0,001
0,6^{n}\leqslant 0,001
La fonction \ln étant strictement croissante :
\ln0,6^{n}\leqslant \ln0,001
n\ln0,6\leqslant \ln0,001
Comme \ln0,6 est strictement négatif :
n\geqslant \frac{\ln0,001}{\ln0,6}
Or \frac{\ln0,001}{\ln0,6}\approx 13,5. Donc le nombre d’ordinateurs cherché est 14.
- On a affaire à une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,4.