Exercice corrigéExercice 3
5 points-Commun à tous candidats
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right).
- Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.
- Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
- Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
- Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
- Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
- Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.
Soit L le centre du carré DCGH.- Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
- Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
Corrigé
- I est le milieu de [DE], J est le milieu de [DB] et K est le milieu de [IJ].
On obtient:
I \left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)
J \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)
K \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right) - \overrightarrow{AG} \left(1;1;1\right)
\overrightarrow{AK} \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés. - On sait que KI=KJ car K est le milieu de \left[IJ\right]. On calcule, à l'aide du théorème de Pythagore ou des coordonnées :
AI=AJ=\frac{\sqrt{2}}{2}
GI=GJ=\frac{\sqrt{6}}{2}
Les points A, K et G sont équidistants de I et J et ne sont pas alignés, donc (AKG) est bien le plan médiateur de [IJ]. - Soit M\left(x; y; z\right)
M\in \left(AKG\right) \Leftrightarrow MI=MJ \Leftrightarrow MI^{2}=MJ^{2}
M\in \left(AKG\right) \Leftrightarrow x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+z^{2}
En développant puis en réduisant on obtient l'équation de (AKG)
x-z=0 - Il suffit de vérifier que les coordonnées de D vérifient l'équation trouvée.
- On sait que KI=KJ car K est le milieu de \left[IJ\right]. On calcule, à l'aide du théorème de Pythagore ou des coordonnées :
- L est le milieu de [DG]. On en déduit L\left(\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}\right)
Le milieu de [AL] a comme coordonnées \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right); c'est donc K. - K est le milieu de [AL], donc le barycentre de \left\{\left(A, 2\right); \left(L, 2\right)\right\}
L est le milieu de [DG], donc le barycentre de \left\{\left(D, 1\right); \left(G, 1\right)\right\}
Par associativité du barycentre, K est le barycentre de \left\{\left(A, 2\right); \left(D, 1\right); \left(G, 1\right)\right\}
- L est le milieu de [DG]. On en déduit L\left(\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}\right)