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moyenExercice corrigé

Cube Barycentres - Bac S Amérique du Nord 2009

Exercice 3

5 points-Commun à tous candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal \left(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right).

  1. Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.
  2. Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
    1. Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
    2. Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
    3. Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
  3. Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.
    Soit L le centre du carré DCGH.

    1. Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
    2. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l'on précisera.

Corrigé

  1. I est le milieu de [DE], J est le milieu de [DB] et K est le milieu de [IJ].
    On obtient:
    I \left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)
    J \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)
    K \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)
  2. \overrightarrow{AG} \left(1;1;1\right)
    \overrightarrow{AK} \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)
    Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés.
    1. On sait que KI=KJ car K est le milieu de \left[IJ\right]. On calcule, à l'aide du théorème de Pythagore ou des coordonnées :
      AI=AJ=\frac{\sqrt{2}}{2}
      GI=GJ=\frac{\sqrt{6}}{2}
      Les points A, K et G sont équidistants de I et J et ne sont pas alignés, donc (AKG) est bien le plan médiateur de [IJ].
    2. Soit M\left(x; y; z\right)
      M\in \left(AKG\right) \Leftrightarrow MI=MJ \Leftrightarrow MI^{2}=MJ^{2}
      M\in \left(AKG\right) \Leftrightarrow x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+z^{2}
      En développant puis en réduisant on obtient l'équation de (AKG)
      x-z=0
    3. Il suffit de vérifier que les coordonnées de D vérifient l'équation trouvée.
    1. L est le milieu de [DG]. On en déduit L\left(\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}\right)
      Le milieu de [AL] a comme coordonnées \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right); c'est donc K.
    2. K est le milieu de [AL], donc le barycentre de \left\{\left(A, 2\right); \left(L, 2\right)\right\}
      L est le milieu de [DG], donc le barycentre de \left\{\left(D, 1\right); \left(G, 1\right)\right\}
      Par associativité du barycentre, K est le barycentre de \left\{\left(A, 2\right); \left(D, 1\right); \left(G, 1\right)\right\}
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Bac S Amérique du Nord 2009

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