Exercice corrigéExercice 4
5 points-Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
- Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : 8x-5y=3.
- Soit m un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple \left(p, q\right) de nombres entiers vérifiant m=8 p+1 et m=5q+4.
Montrer que le couple \left(p, q\right) est solution de l'équation (E) et en déduire que m\equiv 9 \left(\text{mod.} 40\right). - Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.
- Soit n un nombre entier naturel.
- Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 2^{3k}\equiv 1 \left(\text{mod.}7\right).
- Quel est le reste dans la division euclidienne de 2^{2009} par 7 ?
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a \neq 0.
On considère le nombre N=a \times 10^{3}+b. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme N= \overline{a00b}.
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.- Vérifier que 10^{3}\equiv -1 \left(\text{mod.} 7\right).
- En déduire tous les nombres entiers N cherchés.
Corrigé
- L'algorithme d'Euclide permet de trouver une solution de l'équation.
Ici \left(1; 1\right) est une solution évidente.
Soit \left(x;y\right) une solution de (E) :
8x-5y=3\Leftrightarrow 8x-5y=8\times 1-5\times 1\Leftrightarrow 8\left(x-1\right)=5\left(y-1\right)
8 divise 5\left(y-1\right) et est premier avec 5, donc d'après le théorème de Gauss, 8 divise y-1.
Posons y-1=8k avec k\in \mathbb{Z} alors x-1=5k donc :
y=1+8k et x=1+5k
Réciproquement on vérifie que tout couple de la forme \left( 1+5k, 1+8k \right) est solution de (E) :
8\left(1+5k\right)-5\left(1+8k\right)=3
L'ensemble des solutions entières de (E) est donc:
S=\left\{\left( 1+5k, 1+8k \right)\ ;\ k\in \mathbb{Z}\right\} - Par hypothèse 8p+1=5q+4 donc 8p-5q=1. \left(p; q\right) est donc solution de (E)
D'après le a. on en déduit que :
m=8p+1=8\left(1+5k\right)+1=40k+9
donc m\equiv 9\ \left(\text{mod.}40\right) - Posons N=2000+k avec k\in \mathbb{N}
N\equiv 9\ \left(\text{mod.}40\right) \Leftrightarrow 2000+k\equiv 9\ \left(\text{mod.}40\right) \Leftrightarrow k\equiv 9 \ \left(\text{mod.}40\right)
car 2000 est divisible par 40. Le plus petit entier positif k possible est donc 9 et la plus petite valeur de N est 2009
- L'algorithme d'Euclide permet de trouver une solution de l'équation.
- 2^{3}=8 donc
2^{3}\equiv 1\ \left(\text{mod.}7\right)
donc pour tout entier naturel k en élevant à la puissance k :
2^{3k}\equiv 1\ \left(\text{mod.}7\right) - La division euclidienne de 2009 par 3 donne :
2009=3\times 669+2
Donc
2^{2009}=2^{3\times 669+2}=\left(2^{3}\right)^{669}\times 2^{2}
D'après la question pécédente:
2^{2009}\equiv 1\times 2^{2}\equiv 4\ \left(\text{mod.}7\right)
Le reste de la division euclidienne de 2^{2009} par 7 est donc 4.
- 2^{3}=8 donc
- 10^{3}=1000=142\times 7+6=142\times 7+7-1=143\times 7-1
Donc 10^{3}\equiv -1\ \left(\text{mod.}7\right) - On déduit de la question précédente que
a\times 10^{3}+b\equiv b-a\ \left(\text{mod.}7\right)
Donc a\times 10^{3}+b est divisible par 7 si et seulement si b-a\equiv 0\ \left(\text{mod.}7\right)
Comme 1\leqslant a\leqslant 9 et 0\leqslant b\leqslant 9 : -9\leqslant b-a\leqslant 8.
Les seules solutions possibles sont donc : b-a=-7; b-a=0; b-a=7, ce qui donne les nombres:
7000; 8001; 9002; 1001; 2002; 3003; 4004; 5005; 6006; 7007; 8008; 9009; 1008; 2009
Réciproquement, on vérifie que chacun de ces quatorze nombres est divisible par 7.
- 10^{3}=1000=142\times 7+6=142\times 7+7-1=143\times 7-1