Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Seconde mi-temps

[Niveau: Terminale]

Football

Au cours de la seconde mi-temps (45 minutes) d'un match de football, deux joueurs ont marqué chacun un but.

Quelle est la probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts ?

(On considéra que les buts sont indépendants et que les instants auxquels ils sont marqués suivent une loi uniforme).

Solution

La probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est 3281\frac{32}{81}

Notons xx et yy les instants (en minutes) auxquels les buts ont été marqués et plaçons, dans un repère orthonormé, le point MM dont les coordonnées sont (x;y)(x ; y).

Comme les deux buts ont été marqués entre le début de la mi-temps et la 45ième minute, le point MM est situé à l'intérieur du carré représenté ci-dessous :

Seconde Mi-temps 1

Pour qu'il s'écoule moins de 10 minutes entre les deux buts, il faut et il suffit que :

10yx10 - 10 \leqslant y - x \leqslant 10

c'est à dire :

x10yx+10x - 10 \leqslant y \leqslant x+10

Traçons les droites d'équations y=x10y=x - 10 et y=x+10y=x+10. Les deux buts sont distants de moins de 10 minutes si et seulement si le point MMappartient à l'hexagone coloré en jaune ci-dessous :

Seconde Mi-temps 2

En raison de l'hypothèse d'uniformité, la probabilité cherchée est :

p=Aire de lhexagoneAire du carre´p=\frac{Aire\ de\ l^\prime hexagone}{Aire\ du\ carr\acute{e}}

L'hexagone s'obtient en retranchant deux triangles rectangles isocèles au carré ; par conséquent :

Aire de lhexagone=4522×35×352Aire\ de\ l^\prime hexagone = 45^2 - 2 \times \frac{35 \times 35}{2}

Aire de lhexagone=452352Aire\ de\ l^\prime hexagone = 45^2 - 35^2

On obtient alors :

p=452352452=3281p=\frac{45^2 - 35^2}{45^2}=\frac{32}{81}

La probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est donc 32810,395\frac{32}{81} \approx 0,395