La probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est $\frac{32}{81}$

Notons $x$ et $y$ les instants (en minutes) auxquels les buts ont été marqués et plaçons, dans un repère orthonormé, le point $M$ dont les coordonnées sont $(x ; y)$.

Comme les deux buts ont été marqués entre le début de la mi-temps et la 45ième minute, le point $M$ est situé à l'intérieur du carré représenté ci-dessous :

Pour qu'il s'écoule moins de 10 minutes entre les deux buts, il faut et il suffit que :

$- 10 \leqslant y - x \leqslant 10$

c'est à dire :

$x - 10 \leqslant y \leqslant x+10$

Traçons les droites d'équations $y=x - 10$ et $y=x+10$. Les deux buts sont distants de moins de 10 minutes si et seulement si le point $M$appartient à l'hexagone coloré en jaune ci-dessous :

En raison de l'hypothèse d'uniformité, la probabilité cherchée est :

$p=\frac{Aire\ de\ l^\prime hexagone}{Aire\ du\ carr\acute{e}}$

L'hexagone s'obtient en retranchant deux triangles rectangles isocèles au carré ; par conséquent :

$Aire\ de\ l^\prime hexagone = 45^2 - 2 \times \frac{35 \times 35}{2}$

$Aire\ de\ l^\prime hexagone = 45^2 - 35^2$

On obtient alors :

$p=\frac{45^2 - 35^2}{45^2}=\frac{32}{81}$

La probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est donc $\frac{32}{81} \approx 0,395$