[Niveau: Terminale]
Au cours de la seconde mi-temps (45 minutes) d’un match de football, deux joueurs ont marqué chacun un but.
Quelle est la probabilité qu’il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts ?
(On considéra que les buts sont indépendants et que les instants auxquels ils sont marqués suivent une loi uniforme).
Corrigé
La probabilité qu’il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est \frac{32}{81}
Notons x et y les instants (en minutes) auxquels les buts ont été marqués et plaçons, dans un repère orthonormé, le point M dont les coordonnées sont (x ; y).
Comme les deux buts ont été marqués entre le début de la mi-temps et la 45ième minute, le point M est situé à l’intérieur du carré représenté ci-dessous :
Pour qu’il s’écoule moins de 10 minutes entre les deux buts, il faut et il suffit que :
-10 \leqslant y-x \leqslant 10
c’est à dire :
x-10 \leqslant y \leqslant x+10
Traçons les droites d’équations y=x-10 et y=x+10. Les deux buts sont distants de moins de 10 minutes si et seulement si le point Mappartient à l’hexagone coloré en jaune ci-dessous :
En raison de l’hypothèse d’uniformité, la probabilité cherchée est :
p=\frac{Aire\ de\ l^\prime hexagone}{Aire\ du\ carr\acute{e}}
L’hexagone s’obtient en retranchant deux triangles rectangles isocèles au carré ; par conséquent :
Aire\ de\ l^\prime hexagone = 45^2-2 \times \frac{35 \times 35}{2}
Aire\ de\ l^\prime hexagone = 45^2-35^2
On obtient alors :
p=\frac{45^2-35^2}{45^2}=\frac{32}{81}
La probabilité qu’il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est donc \frac{32}{81} \approx 0,395
Retrouvez la solution de l’énigme du mois de juin 2016 : La fontaine et les arbres