[Difficulté: Moyenne – Niveau: 3ème et +]
Dans un parc, quatre arbres A, B, C et D sont disposés en rectangle.
Une fontaine F est située à 80 mètres de l'arbre A, à 125 mètres de l'arbre B et à 110 mètres de l'arbre C.
A quelle distance est-elle de l'arbre D ? (on arrondira au mètre près).
Réponse
Représentons la situation par le diagramme ci-dessous :
D'après le théorème de Pythagore :
AF^2=a^2+c^2\qquad(1)
CF^2=b^2+d^2\qquad(2)
BF^2=b^2+c^2\qquad(3)
DF^2=a^2+d^2\qquad(4)
En ajoutant (1) et (2) on obtient :
AF^2+CF^2=a^2+b^2+c^2+d^2
De même, en ajoutant (3) et (4) on obtient :
BF^2+DF^2=a^2+b^2+c^2+d^2
Par conséquent :
AF^2+CF^2=BF^2+DF^2
c'est à dire :
DF^2=AF^2+CF^2-BF^2
Application numérique :
DF^2=80^2+110^2-125^2=2875
DF=\sqrt{2875} \approx 54 mètres (au mètre près)
Retrouvez la solution de l'énigme du mois d'avril 2016 : La traversée du rectangle