La fontaine et les arbres

[Difficulté: Moyenne – Niveau: 3ème et +]

Dans un parc, quatre arbres A, B, C et D sont disposés en rectangle.

Une fontaine F est située à 80 mètres de l'arbre A, à 125 mètres de l'arbre B et à 110 mètres de l'arbre C.

A quelle distance est-elle de l'arbre D ? (on arrondira au mètre près).

Solution

La bonne réponse est : La fontaine F est située à environ 54 mètres de l'arbre D

Représentons la situation par le diagramme ci-dessous :

La fontaine et les arbres - Solution

D'après le théorème de Pythagore :

$AF^2=a^2+c^2\qquad(1)$

$CF^2=b^2+d^2\qquad(2)$

$BF^2=b^2+c^2\qquad(3)$

$DF^2=a^2+d^2\qquad(4)$

En ajoutant $(1)$ et $(2)$ on obtient :

$AF^2+CF^2=a^2+b^2+c^2+d^2$

De même, en ajoutant $(3)$ et $(4)$ on obtient :

$BF^2+DF^2=a^2+b^2+c^2+d^2$

Par conséquent :

$AF^2+CF^2=BF^2+DF^2$

c'est à dire :

$DF^2=AF^2+CF^2 - BF^2$

Application numérique :

$DF^2=80^2+110^2 - 125^2=2875$

$DF=\sqrt{2875} \approx 54$ mètres (au mètre près)