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Enigme du mois

La fontaine et les arbres

joueurs-340
[Difficulté: Moyenne – Niveau: 3ème et +]
 

Dans un parc, quatre arbres A, B, C et D sont disposés en rectangle.

Une fontaine F est située à 80 mètres de l’arbre A, à 125 mètres de l’arbre B et à 110 mètres de l’arbre C.

A quelle distance est-elle de l’arbre D ? (on arrondira au mètre près).

 

Réponse

La bonne réponse est : La fontaine F est située à environ 54 mètres de l’arbre D

Représentons la situation par le diagramme ci-dessous :

D’après le théorème de Pythagore :
AF^2=a^2+c^2\qquad(1)
CF^2=b^2+d^2\qquad(2)
BF^2=b^2+c^2\qquad(3)
DF^2=a^2+d^2\qquad(4)

En ajoutant (1) et (2) on obtient :
AF^2+CF^2=a^2+b^2+c^2+d^2

De même, en ajoutant (3) et (4) on obtient :
BF^2+DF^2=a^2+b^2+c^2+d^2

Par conséquent :
AF^2+CF^2=BF^2+DF^2

c’est à dire :
DF^2=AF^2+CF^2-BF^2

Application numérique :
DF^2=80^2+110^2-125^2=2875
DF=\sqrt{2875} \approx 54 mètres (au mètre près)

 

Retrouvez la solution de l’énigme du mois d’avril 2016 : La traversée du rectangle

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