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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Les vecteurs en Seconde

1. Notion de vecteur

Définition

Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur.

Remarque

Le mot direction désigne la direction de la droite qui "porte" ce vecteur; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.

Exemple

vecteurs égaux

Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} ont la même direction, le même sens, la même longueur. Ils sont égaux.

Remarque

nommer un vecteur

Pour nommer un vecteur on peut :

  • utiliser l'origine et l'extrémité d'un représentant du vecteur : on parlera du vecteur AB\overrightarrow{AB}

  • lui donner un nom à l'aide d'une lettre (en générale minuscule) : on parlera alors du vecteur u\vec{u}

Définition

AA\overrightarrow{AA}, BB\overrightarrow{BB}, ... représentent un même vecteur de longueur nulle appelé vecteur nul et noté 0\overrightarrow{0}.

Remarque

Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens! Mais il intervient souvent dans les calculs.

Définition

On appelle norme du vecteur AB\overrightarrow{AB} et on note AB||\overrightarrow{AB}|| la longueur du segment [AB]\left[AB\right] .

Remarque

On a donc AB=AB||\overrightarrow{AB}||=AB.

Propriété

MM est le milieu du segment [AB]\left[AB\right] si et seulement si AM=MB\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}.

nommer un vecteur

Remarque

On rappelle que l'égalité de distance AM=MBAM=MB est insuffisante pour montrer que MM est le milieu de [AB]\left[AB\right] (cette égalité montre seulement que M est équidistant de AA et BB c'est à dire est sur la médiatrice de [AB]\left[AB\right]). L'égalité de vecteurs AM=MB\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}, par contre, suffit à montrer que MM est le milieu de [AB]\left[AB\right].

Propriété

Le quadrilatère (ABCD)\left(ABCD\right) est un parallélogramme si et seulement si AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

vecteurs et parallélogramme

Remarques

  • Attention à l'inversion des points CC et DD dans l'égalité AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

  • Avec cette propriété, il suffit de prouver une seule égalité pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. C'est une méthode plus puissante que celles vues en 4ème qui nécessitaient de démontrer deux propriétés (double parallélisme ou parallélisme et égalité de longueurs, etc.)

Définition

La translation de vecteur u\vec{u} est la transformation du plan qui à tout point MM du plan associe l'unique point MM^{\prime} tel que MM=u\overrightarrow{MM^{\prime}}=\vec{u}

translation de vecteur u

Translation de vecteur u\vec{u}

2. Somme de vecteurs

On définit l'addition de deux vecteurs à l'aide de la relation de Chasles:

Propriété

Pour tous points AA, BB et CC du plan : AB+BC=AC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} (Relation de Chasles)

relation de Chasles

Relation de Chasles

Pour appliquer la relation de Chasles, il faut que l'extrémité du premier vecteur coïncide avec l'origine du second. Pour additionner deux vecteurs qui ne sont pas dans cette configuration, on "reporte l'un des vecteurs à la suite de l'autre".

Exemple

somme de vecteurs

Pour tracer la somme des vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} on reporte le vecteur CD\overrightarrow{CD} à la suite du vecteur AB\overrightarrow{AB}; cela donne le vecteur BE\overrightarrow{BE} qui est égal au vecteur CD.\overrightarrow{CD}.

On applique alors la relation de Chasles : AB+BE=AE\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE} . La somme cherchée peut donc être représentée par le vecteur AE.\overrightarrow{AE}.

Cas particulier

somme de vecteurs de même origine

Si les vecteurs à additionner, ont la même origine, la méthode précédente aboutit à la construction d'un parallélogramme (ABDC)\left(ABDC\right) :

AB+AC=AB+BD=AD\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}

Propriété et définition

Pour tout point AA et BB du plan : AB+BA=AA=0\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}

On dit que les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et BA\overrightarrow{BA} sont opposés et l'on écrit AB=BA\overrightarrow{AB}= - \overrightarrow{BA}

Remarque

Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

Conséquence

On peut donc définir la différence de 2 vecteurs par :

ABCD=AB+DC\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}

3. Produit d'un vecteur par un nombre réel

Définition

Soit u\vec{u} un vecteur du plan et soit kk un nombre réel.

On définit le vecteur kuk\vec{u} de la manière suivante :

Si kk est strictement positif :

  • Les vecteurs u\vec{u} et kuk\vec{u} ont la même direction

  • Les vecteurs u\vec{u} et kuk\vec{u} ont le même sens

  • La norme de kuk\vec{u} est kuk ||\vec{u}||

Si kk est strictement négatif :

  • Les vecteurs u\vec{u} et kuk\vec{u} ont la même direction

  • Les vecteurs u\vec{u} et kuk\vec{u} ont des sens opposés

  • La norme de kuk\vec{u} est ku - k ||\vec{u}||

Si kk est nul : ku=0uk\vec{u} = 0\vec{u} est le vecteur nul

Exemple

Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires

Définition

On dit que deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires s'il existe un réel kk tel que u=kv\vec{u} = k\vec{v} ou un réel kk^{\prime} tel que v=ku\vec{v} = k^{\prime}\vec{u}

Remarques

  • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction (mais ils peuvent avoir des sens opposés)

  • Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. En effet 0=0u\overrightarrow{0} = 0\vec{u}

Propriétés

Pour tous vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} du plan et tous réels kk et kk^{\prime} :

  • k(u+v)=ku+kvk \left(\vec{u}+\vec{v}\right) = k\vec{u}+k\vec{v}

  • (k+k)u=ku+ku\left(k+k^{\prime}\right) \vec{u} = k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}

  • k(ku)=(kk)uk \left(k^{\prime}\vec{u}\right) = \left(kk^{\prime}\right) \vec{u}

Exemple

2(AB+3AC)=2AB+2(3AC)=2AB+6AC2 \left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + 2 \left(3\overrightarrow{AC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}