Calculer une aire sous une courbe
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Pour calculer l'aire $ \mathcal{A} $ délimitée par la courbe $ \mathcal{C}_{f} $, l'axe des abscisses et les droites $ x=a $ et $ x=b $ :
- Étape 1 : étudier le signe de $ f $ sur $ [a;b] $.
- Étape 2 : si $ f \geqslant 0 $ sur $ [a;b] $, alors $ \mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx $ (en unités d'aire).
- Étape 3 : si $ f \leqslant 0 $ sur $ [a;b] $, alors $ \mathcal{A} = -\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \displaystyle\int_{a}^{b} \left(-f(x)\right)dx $.
- Étape 4 : si $ f $ change de signe sur $ [a;b] $, déterminer un (ou plusieurs) point(s) $ c $ où $ f(c)=0 $, puis appliquer Chasles : $ \mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{c}|f(x)|\,dx + \int_{c}^{b}|f(x)|\,dx $, en remplaçant $ |f| $ par $ f $ ou $ -f $ sur chaque sous-intervalle selon le signe.
- Étape 5 : conclure en unités d'aire (u.a.). Si l'énoncé demande une aire en cm², multiplier par l'aire d'une unité d'aire dans le repère donné.
Remarque
L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés $ \|\vec{i}\| $ et $ \|\vec{j}\| $. Dans un repère où $ \|\vec{i}\| = 2 $ cm et $ \|\vec{j}\| = 3 $ cm, on a : $ 1\text{ u.a.} = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}^{2} $.
Fonction positive sur l'intervalle
Calculer l'aire $ \mathcal{A} $ comprise entre la courbe de $ f : x \mapsto x^{2} + 1 $, l'axe des abscisses, et les droites $ x=0 $ et $ x=2 $.
Étape 1 : pour tout $ x $, $ f(x) = x^{2}+1 \geqslant 1 > 0 $. La fonction est positive sur $ [0;2] $.
Étape 2 : l'aire est donnée par :
Étape 3 : une primitive est $ F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + x $.
![Aire sous la courbe de f(x)=x^2+1 sur [0;2]](/assets/svg/tc-calculer-aire-sous-courbe-graph-bb-17.svg?v=1778764625)
Fonction négative
Calculer l'aire $ \mathcal{A} $ comprise entre la courbe de $ f : x \mapsto x^{2} - 4 $, l'axe des abscisses, et les droites $ x=-2 $ et $ x=2 $.
Étape 1 : $ f(x) = x^{2} - 4 = (x-2)(x+2) $. Pour $ x \in [-2\,;2] $, on a $ f(x) \leqslant 0 $.
Étape 2 : $ f $ est négative sur $ [-2;2] $, donc :
Étape 3 : une primitive de $ x \mapsto 4 - x^{2} $ est $ F(x) = 4x - \dfrac{x^{3}}{3} $.
$ F(2) = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3} $
$ F(-2) = -8 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{16}{3} $
Fonction qui change de signe
Calculer l'aire $ \mathcal{A} $ comprise entre la courbe de $ f : x \mapsto x^{2} - 1 $, l'axe des abscisses, et les droites $ x=0 $ et $ x=2 $.
Étape 1 : $ f(x) = x^{2} - 1 = (x-1)(x+1) $. Sur $ [0;2] $ :
$ f(x) \leqslant 0 $ pour $ x \in [0;1] $
$ f(x) \geqslant 0 $ pour $ x \in [1;2] $
Étape 2 : on découpe par Chasles en $ c=1 $ :
Étape 3 : une primitive de $ 1 - x^{2} $ est $ x - \dfrac{x^{3}}{3} $.
Une primitive de $ x^{2} - 1 $ est $ \dfrac{x^{3}}{3} - x $.
Étape 4 : on additionne les deux aires :
Remarque
Pour passer en cm², multiplier par l'aire d'une unité d'aire. Par exemple, si $ \|\vec{i}\| = 2 $ cm et $ \|\vec{j}\| = 1 $ cm, alors $ 1 $ u.a. $ = 2 $ cm² et l'aire $ 2 $ u.a. de l'exemple 3 vaut $ 4 $ cm².
Attention
Erreurs fréquentes :
- Confondre intégrale et aire : l'intégrale d'une fonction négative est négative, alors qu'une aire est toujours positive.
- Oublier d'étudier le signe de $ f $ avant tout calcul d'aire.
- Quand $ f $ change de signe : ne pas découper avec Chasles et calculer directement $ \displaystyle\int_{a}^{b} f $ (les aires positives et négatives se compensent).
- Oublier les unités : préciser « u.a. » ou « cm² » selon le contexte.