Calculer la valeur moyenne d’une fonction
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Pour calculer la valeur moyenne $ \mu $ d'une fonction $ f $ continue sur $ [a;b] $ (avec $ a<b $) :
- Étape 1 : vérifier que $ f $ est continue sur $ [a;b] $ et que $ a<b $.
- Étape 2 : déterminer une primitive $ F $ de $ f $ sur $ [a;b] $.
- Étape 3 : calculer $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $.
- Étape 4 : appliquer la formule $ \mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx $.
- Étape 5 : interpréter le résultat dans le contexte (vitesse moyenne, prix moyen, débit moyen…).
Remarque
Géométriquement, $ \mu $ est la hauteur du rectangle de base $ [a;b] $ qui aurait la même aire que celle délimitée par la courbe et l'axe des abscisses. Ce nombre est aussi appelé hauteur moyenne de la courbe sur $ [a;b] $.
Valeur moyenne d'une fonction polynôme
Calculer la valeur moyenne de la fonction $ f $ définie par $ f(x) = x^{2} + 2x $ sur l'intervalle $ [0;3] $.
Étape 1 : $ f $ est continue sur $ [0;3] $ et $ 3 > 0 $, on peut appliquer la formule.
Étape 2 : une primitive est $ F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + x^{2} $.
Étape 3 :
$ F(3) = \dfrac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18 $
$ F(0) = 0 $
Étape 4 :
Étape 5 : la valeur moyenne de $ f $ sur $ [0;3] $ est $ \mu = 6 $.
Application : vitesse moyenne
Un véhicule a une vitesse instantanée $ v(t) = 60 - 4t $ (en km/h) au bout de $ t $ heures, pour $ 0 \leqslant t \leqslant 5 $. Calculer sa vitesse moyenne sur $ [0;5] $.
Étape 1 : $ v $ est continue sur $ [0;5] $.
Étape 2 : une primitive est $ V(t) = 60t - 2t^{2} $.
Étape 3 :
$ V(5) = 300 - 50 = 250 $
$ V(0) = 0 $
Étape 4 :
Étape 5 : la vitesse moyenne du véhicule sur les $ 5 $ heures est de $ 50 $ km/h. (La distance parcourue, donnée par l'intégrale de la vitesse, vaut $ 250 $ km, ce qui confirme l'interprétation.)
Remarque
Ne pas confondre la valeur moyenne d'une fonction (calculée avec une intégrale) et la moyenne arithmétique de quelques valeurs ponctuelles : les deux notions coïncident seulement quand $ f $ est constante.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier de diviser par $ b - a $ : la valeur moyenne n'est pas l'intégrale, mais l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle.
- Inverser $ b - a $ et $ a - b $ : c'est toujours « borne du haut moins borne du bas » (donc positif puisque $ a<b $).
- Confondre la valeur moyenne (un nombre $ \mu $) et la fonction $ f $ : $ \mu $ ne dépend pas de $ x $.
- Oublier de préciser l'unité dans les contextes appliqués (km/h, °C, €, etc.).