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Primitives et intégrales Méthode

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles

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15 minutes
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Remarque

Quand on ne sait pas (ou ne veut pas) calculer une primitive, on peut approcher la valeur de $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx $ en remplaçant l'aire sous la courbe par une somme d'aires de rectangles. Plus on découpe finement l'intervalle, plus l'approximation est précise.

Méthode

Pour approcher $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx $ par la méthode des rectangles avec $ n $ sous-intervalles :

  1. Étape 1 : choisir le nombre $ n $ de rectangles et calculer leur largeur commune $ h = \dfrac{b-a}{n} $.
  2. Étape 2 : repérer les bornes des sous-intervalles : $ x_k = a + k\,h $ pour $ k $ allant de $ 0 $ à $ n $.
  3. Étape 3 : pour la somme à gauche $ S_g $, prendre la hauteur de chaque rectangle égale à la valeur de $ f $ au bord gauche : $ S_g = h\,\big(f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})\big) $.
  4. Étape 4 : pour la somme à droite $ S_d $, prendre la hauteur au bord droit : $ S_d = h\,\big(f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)\big) $.
  5. Étape 5 : si $ f $ est monotone sur $ [a;b] $, encadrer l'intégrale par les deux sommes (voir la remarque ci-dessous), puis donner comme valeur approchée la moyenne $ \dfrac{S_g + S_d}{2} $.

Remarque

Lorsque $ f $ est croissante sur $ [a;b] $, la somme à gauche sous-estime l'aire et la somme à droite la surestime, d'où l'encadrement :

$ S_g \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant S_d $

Si $ f $ est décroissante, les rôles s'inversent : $ S_d \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant S_g $. L'amplitude de l'encadrement vaut $ |S_d - S_g| = h\,|f(b) - f(a)| $ : elle tend vers $ 0 $ quand $ n $ tend vers l'infini.

Encadrer l'intégrale de la fonction carré de 0 à 1

Approcher $ \displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx $ avec $ n = 4 $ rectangles, puis comparer à la valeur exacte $ \dfrac{1}{3} $.

Étape 1 : la largeur des rectangles est $ h = \dfrac{1-0}{4} = 0{,}25 $.

Étape 2 : les bornes sont $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 0{,}25 $, $ x_2 = 0{,}5 $, $ x_3 = 0{,}75 $, $ x_4 = 1 $. Avec $ f(x) = x^{2} $, on calcule :

$ f(0) = 0 \quad ; \quad f(0{,}25) = 0{,}0625 \quad ; \quad f(0{,}5) = 0{,}25 \quad ; \quad f(0{,}75) = 0{,}5625 \quad ; \quad f(1) = 1 $

Étape 3 : somme à gauche (bords $ x_0,\,x_1,\,x_2,\,x_3 $) :

$ S_g = 0{,}25 \times (0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}25 \times 0{,}875 = 0{,}21875 $

Étape 4 : somme à droite (bords $ x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4 $) :

$ S_d = 0{,}25 \times (0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625 + 1) = 0{,}25 \times 1{,}875 = 0{,}46875 $

Étape 5 : $ f $ est croissante sur $ [0;1] $, donc :

$ 0{,}21875 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx \leqslant 0{,}46875 $

La valeur exacte $ \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333 $ est bien dans cet encadrement. La moyenne des deux sommes donne l'estimation $ \dfrac{0{,}21875 + 0{,}46875}{2} = 0{,}34375 $, déjà proche de $ \dfrac{1}{3} $.

Quatre rectangles approchant l'aire sous la parabole y=x^2 sur [0;1]
Sommes à gauche : les rectangles restent sous la courbe croissante.

Algorithme Python (boucle) sur l'intégrale de l'exponentielle

On veut une valeur approchée de $ \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x}\,dx $, dont la valeur exacte est $ e - 1 \approx 1{,}7183 $.

Étape 1 : on programme une boucle qui ajoute les aires des $ n $ rectangles. La fonction ci-dessous renvoie les deux sommes (à gauche et à droite).

from math import exp

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    somme_gauche = 0
    somme_droite = 0
    for k in range(n):
        x_gauche = a + k * h
        x_droite = a + (k + 1) * h
        somme_gauche += f(x_gauche) * h
        somme_droite += f(x_droite) * h
    return somme_gauche, somme_droite

g, d = rectangles(exp, 0, 1, 100)
print(g, d)          # 1.7097... 1.7269...
print((g + d) / 2)   # 1.7183...

Étape 2 : avec $ n = 100 $, le programme renvoie $ S_g \approx 1{,}7097 $ et $ S_d \approx 1{,}7269 $.

Étape 3 : la fonction exponentielle étant croissante sur $ [0;1] $, on obtient l'encadrement :

$ 1{,}7097 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x}\,dx \leqslant 1{,}7269 $

Étape 4 : la moyenne $ \dfrac{S_g + S_d}{2} \approx 1{,}7183 $ approche très bien la valeur exacte $ e - 1 \approx 1{,}7183 $. En augmentant $ n $, l'encadrement se resserre.

Remarque

La largeur de l'encadrement vaut ici $ h\,(f(b) - f(a)) = \dfrac{1}{n}\,(e^{1} - e^{0}) = \dfrac{e-1}{n} $ : elle est inversement proportionnelle à $ n $. Pour gagner un chiffre décimal de précision, il faut donc multiplier $ n $ par $ 10 $.

Attention

Erreurs fréquentes :

  • Confondre le nombre de rectangles ($ n $) et le nombre de bornes ($ n+1 $) : la somme à gauche utilise $ x_0,\dots,x_{n-1} $ et la somme à droite $ x_1,\dots,x_n $, jamais toutes les bornes à la fois.
  • Oublier de multiplier par la largeur $ h $ : une somme de valeurs $ f(x_k) $ n'est pas une aire tant qu'elle n'est pas multipliée par $ h $.
  • Conclure $ S_g \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f \leqslant S_d $ sans avoir vérifié que $ f $ est croissante : si $ f $ est décroissante, l'encadrement est inversé.
  • En Python, écrire `range(n+1)` dans la boucle de la somme à gauche : on dépasse alors le dernier sous-intervalle (la boucle doit parcourir $ n $ rectangles, donc `range(n)`).