Déterminer une primitive d’une fonction usuelle
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Pour déterminer une primitive d'une fonction $ f $ donnée par une formule simple :
- Étape 1 : identifier la forme de $ f(x) $ (constante, $ x^{n} $, $ \dfrac{1}{x^{n}} $, $ \dfrac{1}{x} $, $ \dfrac{1}{\sqrt{x}} $, $ e^{x} $).
- Étape 2 : préciser l'intervalle $ I $ sur lequel $ f $ est définie et continue.
- Étape 3 : appliquer la formule du tableau des primitives usuelles pour obtenir $ F(x) $.
- Étape 4 : si $ f $ est une somme ou est multipliée par un réel, utiliser la linéarité : une primitive de $ k\,f $ est $ k\,F $, une primitive de $ f+g $ est $ F+G $.
- Étape 5 : conclure en ajoutant $ +k $ pour décrire l'ensemble des primitives, ou laisser $ F $ seul si une primitive particulière suffit.
Remarque
Il existe une infinité de primitives : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. On parle donc d'une primitive et non de la primitive.
Primitive d'une fonction polynôme
Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f $ définie par $ f(x) = 3x^{2} - 4x + 5 $.
Étape 1 : $ f $ est une somme de trois termes : $ 3x^{2} $, $ -4x $ et $ 5 $.
Étape 2 : $ f $ est une fonction polynôme, continue sur $ \mathbb{R} $.
Étape 3 : on applique le tableau pour chaque terme.
Une primitive de $ x \mapsto x^{2} $ est $ x \mapsto \dfrac{x^{3}}{3} $.
Une primitive de $ x \mapsto x $ est $ x \mapsto \dfrac{x^{2}}{2} $.
Une primitive de $ x \mapsto 1 $ est $ x \mapsto x $.
Étape 4 : par linéarité :
Étape 5 : une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est donc $ F : x \mapsto x^{3} - 2x^{2} + 5x $.
Primitive avec inverse et exponentielle
Déterminer toutes les primitives sur $ ]0\,;+\infty[ $ de la fonction $ f $ définie par $ f(x) = \dfrac{2}{x} + e^{x} - \dfrac{1}{x^{2}} $.
Étape 1 : $ f $ est la somme de trois termes usuels : $ \dfrac{1}{x} $ (avec coefficient $ 2 $), $ e^{x} $ et $ \dfrac{1}{x^{2}} $ (avec coefficient $ -1 $).
Étape 2 : $ f $ est continue sur $ ]0\,;+\infty[ $ (le terme $ \dfrac{1}{x} $ impose $ x>0 $).
Étape 3 : d'après le tableau des primitives usuelles :
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ x \mapsto \ln(x) $.
Une primitive de $ x \mapsto e^{x} $ est $ x \mapsto e^{x} $.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ x \mapsto -\dfrac{1}{x} $.
Étape 4 : par linéarité :
Étape 5 : toutes les primitives de $ f $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ sont les fonctions :
Remarque
Pour vérifier qu'une fonction $ F $ est bien une primitive de $ f $, on peut dériver $ F $ et contrôler que $ F^{\prime}(x) = f(x) $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier de diviser par le nouvel exposant : la primitive de $ x^{n} $ est $ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} $, pas $ x^{n+1} $.
- Confondre $ \dfrac{1}{x} $ (dont une primitive est $ \ln(x) $) avec $ \dfrac{1}{x^{2}} $ (dont une primitive est $ -\dfrac{1}{x} $).
- Oublier de préciser l'intervalle, notamment quand la fonction $ \ln $ ou la division par $ x $ apparaît.
- Le signe « moins » dans $ -\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} $ : ne pas l'oublier lors de la primitive de $ \dfrac{1}{x^{n}} $.