Déterminer une primitive d’une fonction composée
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Pour déterminer une primitive d'une fonction qui n'est pas dans le tableau des fonctions usuelles, on cherche à la mettre sous une des trois formes composées :
- Étape 1 : repérer une « partie intérieure » $ u(x) $ susceptible de jouer le rôle de fonction composée (exponentielle d'une expression, dénominateur d'une fraction, expression élevée à une puissance).
- Étape 2 : calculer $ u^{\prime}(x) $.
Étape 3 : reconnaître la forme de $ f(x) $ parmi les trois cas suivants :
- $ f = u^{\prime}\,e^{u} $ : une primitive est $ F = e^{u} $.
- $ f = \dfrac{u^{\prime}}{u} $ (avec $ u>0 $) : une primitive est $ F = \ln(u) $.
- $ f = u^{\prime}\,u^{n} $ (avec $ n \geqslant 1 $ entier) : une primitive est $ F = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} $.
- Étape 4 : si un coefficient multiplicatif manque pour faire apparaître exactement $ u^{\prime} $, le faire apparaître en multipliant et divisant par la constante adaptée (linéarité).
- Étape 5 : conclure en donnant $ F(x) $ (et préciser l'intervalle si nécessaire pour la forme $ \ln(u) $).
Forme u'·e^u
Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f $ définie par $ f(x) = 6x \, e^{x^{2}} $.
Étape 1 : on pose $ u(x) = x^{2} $ (l'exposant de l'exponentielle).
Étape 2 : $ u^{\prime}(x) = 2x $.
Étape 3 : on souhaite faire apparaître $ u^{\prime}\,e^{u} = 2x\, e^{x^{2}} $. Or $ f(x) = 6x \, e^{x^{2}} = 3 \times 2x\, e^{x^{2}} $.
Étape 4 : $ f(x) = 3 \, u^{\prime}(x) \, e^{u(x)} $.
Étape 5 : une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est :
Vérification : $ F^{\prime}(x) = 3 \times 2x \, e^{x^{2}} = 6x \, e^{x^{2}} = f(x) $.
Forme u'/u
Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f $ définie par $ f(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1} $.
Étape 1 : on pose $ u(x) = x^{2}+1 $ (le dénominateur).
Étape 2 : $ u^{\prime}(x) = 2x $.
Étape 3 : on observe que $ f(x) = \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)} $.
Étape 4 : pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ u(x) = x^{2}+1 \geqslant 1 > 0 $, donc la formule s'applique sur $ \mathbb{R} $.
Étape 5 : une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est :
Forme u'·u^n
Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f $ définie par $ f(x) = (3x-1)^{4} $.
Étape 1 : on pose $ u(x) = 3x-1 $.
Étape 2 : $ u^{\prime}(x) = 3 $.
Étape 3 : on cherche à écrire $ f $ sous la forme $ u^{\prime}\,u^{n} $ avec $ n=4 $. Or $ u^{\prime}(x) \, u(x)^{4} = 3 \, (3x-1)^{4} $.
Étape 4 : $ f(x) = (3x-1)^{4} = \dfrac{1}{3} \times 3 \, (3x-1)^{4} = \dfrac{1}{3} \, u^{\prime}(x) \, u(x)^{4} $.
Étape 5 : une primitive de $ u^{\prime}\,u^{4} $ est $ \dfrac{u^{5}}{5} $. Donc une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est :
Remarque
La méthode du « facteur multiplicatif manquant » (étape 4) ne fonctionne que si la constante manquante est un nombre. Si l'on devait diviser par une expression dépendant de $ x $, ce n'est plus une primitive composée du cours.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Confondre les trois formes : bien dériver mentalement le candidat $ F $ pour vérifier qu'on retrouve $ f $.
- Oublier le coefficient correctif : si $ u^{\prime} $ apparaît avec un facteur $ a $, ne pas oublier de diviser par $ a $.
- Pour la forme $ \dfrac{u^{\prime}}{u} $ : vérifier que $ u(x)>0 $ sur l'intervalle considéré, sinon écrire $ \ln(|u(x)|) $ ou restreindre l'intervalle.
- Confondre $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1} $ (primitive de $ u^{\prime}\,u^{n} $) avec $ u^{n+1} $ (où on aurait oublié de diviser).