Calculer une aire entre deux courbes
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Pour calculer l'aire $ \mathcal{A} $ délimitée par deux courbes $ \mathcal{C}_{f} $ et $ \mathcal{C}_{g} $ entre $ x=a $ et $ x=b $ :
- Étape 1 : étudier la position relative de $ \mathcal{C}_{f} $ et $ \mathcal{C}_{g} $ sur $ [a;b] $, c'est-à-dire le signe de $ g(x) - f(x) $.
- Étape 2 : si $ f \leqslant g $ sur $ [a;b] $ (la courbe $ \mathcal{C}_{g} $ est au-dessus), alors $ \mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(g(x) - f(x)\right)dx $.
- Étape 3 : si la position relative s'inverse en un point $ c $, découper avec Chasles : sur chaque sous-intervalle, intégrer la différence (courbe du dessus moins courbe du dessous).
- Étape 4 : déterminer une primitive de $ g - f $, puis appliquer la formule $ F(b) - F(a) $.
- Étape 5 : conclure en unités d'aire.
Remarque
Si les bornes $ a $ et $ b $ ne sont pas données, on les obtient comme abscisses des points d'intersection des deux courbes, en résolvant l'équation $ f(x) = g(x) $.
Aire entre une parabole et une droite
Soit $ f(x) = x^{2} $ et $ g(x) = x + 2 $. Calculer l'aire $ \mathcal{A} $ comprise entre les courbes $ \mathcal{C}_{f} $ et $ \mathcal{C}_{g} $.
Étape 1 : cherchons les points d'intersection en résolvant $ x^{2} = x + 2 $, soit $ x^{2} - x - 2 = 0 $. Le discriminant vaut $ \Delta = 1 + 8 = 9 $, donc :
$ x_{1} = \dfrac{1 - 3}{2} = -1 $ et $ x_{2} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2 $.
Les courbes se coupent en $ x = -1 $ et $ x = 2 $.
Étape 2 : étudions le signe de $ g(x) - f(x) = -x^{2} + x + 2 $. Le coefficient de $ x^{2} $ est $ -1 < 0 $, donc le trinôme est positif entre ses racines $ -1 $ et $ 2 $.
Sur $ [-1;2] $ : $ g(x) - f(x) \geqslant 0 $, donc $ \mathcal{C}_{g} $ est au-dessus de $ \mathcal{C}_{f} $.
Étape 3 : l'aire est :
Étape 4 : une primitive est $ F(x) = -\dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} + 2x $.
$ F(2) = -\dfrac{8}{3} + 2 + 4 = -\dfrac{8}{3} + 6 = \dfrac{10}{3} $
$ F(-1) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{12}{6} = -\dfrac{7}{6} $
Position relative qui s'inverse
Soit $ f(x) = x^{3} $ et $ g(x) = x $. Calculer l'aire $ \mathcal{A} $ comprise entre $ \mathcal{C}_{f} $ et $ \mathcal{C}_{g} $ sur $ [-1;1] $.
Étape 1 : étudions le signe de $ g(x) - f(x) = x - x^{3} = x(1 - x^{2}) = x(1-x)(1+x) $.
Tableau de signes sur $ [-1;1] $ :
Sur $ [-1;0] $ : $ x \leqslant 0 $, $ 1-x \geqslant 0 $, $ 1+x \geqslant 0 $, donc $ g - f \leqslant 0 $ : $ \mathcal{C}_{f} $ est au-dessus.
Sur $ [0;1] $ : $ x \geqslant 0 $, $ 1-x \geqslant 0 $, $ 1+x \geqslant 0 $, donc $ g - f \geqslant 0 $ : $ \mathcal{C}_{g} $ est au-dessus.
Étape 2 : la position s'inverse en $ x=0 $.
Étape 3 : on découpe par Chasles :
Étape 4 : une primitive de $ x^{3} - x $ est $ \dfrac{x^{4}}{4} - \dfrac{x^{2}}{2} $.
Une primitive de $ x - x^{3} $ est $ \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4} $.
Étape 5 :
Remarque
La symétrie observée ici (les deux aires partielles sont égales) vient du fait que la fonction $ g - f = x - x^{3} $ est impaire : son intégrale sur $ [-1;1] $ est nulle, mais l'aire (qui est la somme des valeurs absolues) ne l'est pas.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Calculer $ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(g(x) - f(x)\right)dx $ sans vérifier que $ g \geqslant f $ : si la position s'inverse, il faut découper.
- Oublier de chercher les intersections quand les bornes ne sont pas données.
- Inverser l'ordre dans la différence : c'est toujours (courbe du dessus) $ - $ (courbe du dessous), sinon le résultat est négatif.
- Confondre « aire algébrique » (peut être négative) et « aire géométrique » (toujours positive).