Utiliser l’événement contraire pour calculer une probabilité
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Lorsqu'il est plus facile de calculer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement lui-même, on procède en quatre étapes :
- Étape 1 : Identifier l'événement $A$ dont on cherche la probabilité.
- Étape 2 : Formuler précisément l'événement contraire $\overline{A}$ (celui qui se réalise quand $A$ ne se réalise pas).
- Étape 3 : Calculer $p(\overline{A})$ (par dénombrement des cas favorables ou par équiprobabilité).
- Étape 4 : En déduire $p(A)$ grâce à la formule :
Remarque
Cette méthode est particulièrement efficace lorsque l'événement contient l'expression « au moins un » : son contraire est alors « aucun », qui est bien plus simple à dénombrer.
Au moins un 6 en lançant deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
Étape 1 : On cherche $p(A)$ où $A$ est l'événement « obtenir au moins un 6 ».
Étape 2 : L'événement contraire $\overline{A}$ est « n'obtenir aucun 6 », autrement dit « les deux dés donnent un résultat différent de 6 ».
Étape 3 : L'univers est constitué de $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables. Les issues favorables à $\overline{A}$ sont les couples $(i~;~j)$ avec $i$ et $j$ entre 1 et 5, soit $5 \times 5 = 25$ issues.
Étape 4 : On en déduit :
Au moins une Face en trois lancers
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une Face ?
Étape 1 : On cherche $p(A)$ où $A$ est « obtenir au moins une Face lors des trois lancers ».
Étape 2 : L'événement contraire $\overline{A}$ est « n'obtenir aucune Face », c'est-à-dire « obtenir Pile aux trois lancers » (une unique issue : PPP).
Étape 3 : L'univers compte $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues équiprobables.
Étape 4 : On en déduit :
Attention
Le contraire de « au moins un » est « aucun », et non « aucun sauf un » ni « exactement un ». De même, le contraire de « obtenir un nombre pair » est « obtenir un nombre impair », et non pas « obtenir le chiffre 1 ».