Probabilités : obtenir au moins un six avec deux dés
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Au cours d'une partie, Mathis lance simultanément deux dés cubiques bien équilibrés, l'un rouge et l'autre bleu, dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. Il note le couple formé par le numéro du dé rouge suivi du numéro du dé bleu.
On considère les événements :
- $A$ : « obtenir au moins un $6$ »
- $C$ : « obtenir un double $6$ »
- $S$ : « la somme des deux dés est égale à $7$ »
- Déterminer le nombre d'issues de cette expérience aléatoire.
- Calculer $p\left(C\right)$.
- Décrire l'événement contraire $\overline{A}$. Calculer $p\left(\overline{A}\right)$ puis en déduire $p\left(A\right)$.
- Calculer $p\left(S\right)$.
Corrigé
Les deux dés sont équilibrés : tous les couples $(i\,;\,j)$ sont équiprobables.
Pour chaque valeur du dé rouge, il y a $6$ valeurs possibles pour le dé bleu. Le nombre total d'issues est donc :
$6 \times 6 = \mathbf{36}$ issuesIl n'y a qu'un seul couple correspondant au double $6$ : $(6\,;\,6)$. D'où :
$\mathbf{p\left(C\right) = \dfrac{1}{36}}$L'événement $\overline{A}$ est « n'obtenir aucun $6$ », c'est-à-dire que chaque dé affiche un numéro parmi $\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$.
Le nombre d'issues favorables à $\overline{A}$ est $5 \times 5 = 25$, donc :$\mathbf{p\left(\overline{A}\right) = \dfrac{25}{36}}$On en déduit :
$\mathbf{p\left(A\right) = 1 - p\left(\overline{A}\right) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}}$Les couples dont la somme vaut $7$ sont $(1\,;\,6)$, $(2\,;\,5)$, $(3\,;\,4)$, $(4\,;\,3)$, $(5\,;\,2)$ et $(6\,;\,1)$, soit $6$ couples. D'où :
$\mathbf{p\left(S\right) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}}$
Pour réviser : Utiliser l'événement contraire pour calculer une probabilité