Probabilités : arbre des possibles avec trois pièces
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs travaillés
Sarah lance successivement trois pièces de monnaie bien équilibrées et note, dans l'ordre, les côtés obtenus : $P$ pour Pile et $F$ pour Face.
On considère les événements :
- $D$ : « obtenir exactement deux fois Pile »
- $U$ : « obtenir au moins une fois Pile »
- $M$ : « obtenir trois fois la même face »
- Représenter la situation par un arbre des possibles et en déduire le nombre d'issues.
- Calculer $p\left(D\right)$.
- À l'aide de l'événement contraire, calculer $p\left(U\right)$.
- Calculer $p\left(M\right)$.
Corrigé
Les trois pièces étant équilibrées, Pile et Face sont équiprobables à chaque lancer : on est en situation d'équiprobabilité sur l'ensemble des issues.
À chaque lancer, il y a $2$ possibilités ($P$ ou $F$). On représente la situation par l'arbre des possibles suivant :
L'arbre comporte $2 \times 2 \times 2 = 8$ chemins. L'univers est :
$\Omega = \{PPP\,;\,PPF\,;\,PFP\,;\,PFF\,;\,FPP\,;\,FPF\,;\,FFP\,;\,FFF\}$Il y a $8$ issues équiprobables.
Les issues favorables à $D$ sont celles contenant exactement deux $P$ :
$\{PPF\,;\,PFP\,;\,FPP\}$Il y en a $3$ sur $8$, donc :
$\mathbf{p\left(D\right) = \dfrac{3}{8}}$L'événement contraire de $U$ est $\overline{U}$ : « n'obtenir aucun Pile », c'est-à-dire $FFF$. C'est une seule issue sur $8$, donc :
$p\left(\overline{U}\right) = \dfrac{1}{8}$
On en déduit :$\mathbf{p\left(U\right) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}}$Les issues favorables à $M$ sont $PPP$ et $FFF$, soit $2$ issues sur $8$ :
$\mathbf{p\left(M\right) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}}$